Formulation mathématique

Comme la goutte étudiée avec OpenFOAM est une goutte 2,5D, donc une goutte "cylindrique", les résultats fournis dans les différents papiers ne sont plus valables. L'analyse mathématique doit donc être refaite à nouveau. On utilise l'étude que Y.Gu et D.Li ont fait (Colloid Surfaces A) pour refaire notre étude.

Pour cette étude, la méthode OEB est employée (Overall Energy Balance), qui est un bilan d'énergie global du système, afin de modéliser le processus de propagation. En général, ce processus dépend des forces inertielles, gravitationnelles et visqueuses ainsi que des tensions interfaciales et de la mouillabilité du système. Dans un premier temps, on va effectuer un bilan d'énergie, qui va nous fournir une équation, puis on utilisera la relation de Laplace afin de trouver l'équation du profil fluide-liquide.

La première équation obtenue par le bilan d'énergie est :  $$ \frac{m}{2} \left[ (\frac{d x_m}{dt})^2 + (\frac{d y_m}{dt})^2 \right] + \gamma_{lf} \left[A_{lf} - A_{sl} cos\theta_e - 2\pi r_0 L\right] +  mg (y_m -r_0) + A* \int_0^t \frac{L}{\theta(t)} \left[\frac{dR}{dt}\right]^2 dt =0  $$

Son obtention est détaillée dans la sous-partie "Bilan d'énergie".

 

La deuxième équation obtenue par l'équation de Laplace est :

$$
    \left \{
    \begin{array}{ll}
    \frac{dy_1}{dx} = y_2 \\
    \frac{dy_2}{dx} = \left[ \frac{\Delta \rho g}{ \gamma_{lf} } (H(t) - y_1 ) + \frac{2}{R_0} - \frac{y_2}{x \sqrt{1 + y_2^2} } \right] * (1+y_2^2 )^{\frac{3}{2}}
    \end{array}
    \right.
$$

Son développement est décrit dans la sous-partie "Profil liquide-fluide".