Intérêts du convergent

Comme dit précédemment l'objectif du positionnement du convergent  en amont de l'éolienne sert à augmenter la puissance de l'écoulement avant qu'il ne l'atteigne, améliorant ainsi les capacité du dispositif. 

Nous allons à présent essayer de quantifier l'apport de cet élément à l'installation elle même en terme de puissance.

La puissance d'un écoulement de masse volumique $\rho $ de vitesse uniforme U traversant une section de surface A peut s'écrire sous la forme :

$P= \frac{1}{2} \rho U^3 A$  (1)

On va se placer dans la géométrie suivante et supposer l'écoulement isentropique adiabatique et compressible, ce qui n'est pas éloigné de la réalité étant donnée la configuration adoptée.

Le but va donc être de déterminer le rapport des puissances entre les états 1 et 2.

Pour cela nous allons introduire le nombre de Mach  $M= \frac{U}{c}$ avec c la célérité du son s'exprimant comme  $c= \sqrt{ \gamma r T} $  avec T la température de l'écoulement.

Le fluide que nous étudions est évidemment l'air que nous allons considérer comme étant un gaz parfait, les tables thermodynamiques nous donnent donc:

$ \gamma = 1.4 $

$ r=287 m^{2} s^{-2} K^{-1} $

La loi des aires dans la théorie des écoulements compressibles nous permet de lier les grandeurs (P, $\rho $ , T) locales à une section donnée de la géométrie avec des grandeurs virtuelles, dîtes grandeurs d'arrêt, qui correspondent à l'état thermodynamique dans lequel serait le fluide si jamais il rencontrait un point d'arrêt (un obstacle).  Cette relation se fait par l'intermédiaire du nombre de Mach et du coefficient adiabatique $ \gamma $ . Les grandeurs d'arrêt seront par la suite notée Xo .

Ces relations sont donc :

                        $ \frac {T_{o}}{T}=1+\frac {(\gamma-1)}{2} M^2 $  (2a)

                        $ \frac {p_{o}}{p}=(1+\frac {(\gamma-1)}{2} M^2 )^{\frac{\gamma}{\gamma -1}}$ (2b)

                        $ \frac {\rho_{o}}{\rho}=(1+\frac {(\gamma-1)}{2} M^2 )^{\frac{1}{\gamma -1}}$ (2c)

Si l'on veut que l'écoulement ait une puissance maximale dans l'état 2 il faut que celui ci soit sonique. C'est à dire que la vitesse de l'écoulement au col du divergent doit être égale à la célérité du son à cette même section, forçant ainsi M=1. 

Cette condition est nécessaire puisque dans un divergent, si la vitesse de l'écoulement vient à dépasser celle du son, un choc droit se forme faisant repasser l'écoulement dans le régime subsonique. Ainsi lorsque cela vient à se produire avant le col, le fluide, dû au rétrécissement de section va de nouveau accélérer pour se rapprocher de M=1 . On comprends ainsi que l'on ne peut s'éloigner de cette limite et que l'on va osciller autour. 

La présence de chocs implique la création locale d'entropie et donc de perte énergétique. Afin de les éviter et de conserver l'hypothèse d'un écoulement isentropique nous allons considérer que l'écoulement ne devient sonique qu'au col. 

Nous avons donc $M_2=1$.

Si l'on écrit la conservation de la masse entre l'état 1 et 2 (entrée/col) on obtient

$\rho_1 U_1 A_1 =\rho_2 U_2 A_2$

ce qui conduit à écrire le rapport des puissance grâce à la relation (1) $\tau = \frac{P_2}{P_1} $ :

$ \tau = \frac{U_2^2}{U_1^2}$  avec l'expression du nombre de Mach ce rapport devient:

$ \tau = \frac{M_2^2 c_2^2}{M_1^2 c_1^2}$ or $M_2=1$ D'après l'expression de la célérité du son :

$ \tau = \frac{ T_2} {M_1^2 T_1} $  En manipulant un peu on peut transformer cette expression de la manière suivante:

$\tau = \frac{\frac{T_o}{T_1}}{M_1^2 \frac{T_o}{T_2}}$ Ce qui conduit, en remplaçant $ \frac{T_o}{T_{1,2}}$ par l'expression donnée par (2a) et toujours en gardant en tête que $M_2=1$  à l'expression suivante :

  $\tau = \frac{2+(\gamma-1)M_1^2}{(\gamma+1) M_1^2} $ (3)

On remarque que $ \tau $  ne dépend que de la nature du gaz ainsi que du nombre de Mach de la section d'entrée, si on le trace pour un intervalle de nombre de mach de compris entre 0.1  et 0.9, typique du domaine rencontré par les avions civils on obtient:

  

On constate immédiatement que plus l'on se situe à Mach faible plus le gain en puissance devient grand. Par exemple pour un nombre de Mach de 0.85 (vitesse de croisière) le gain n'est que de 1.32, par contre pour l'atterrissage où l'on si situe plutôt autour de Mach 0.2 on a un gain de 21 ce qui est considérable.

Comme dit précédemment c'est à l'atterrissage que l'on a les plus gros pics de stress énergétique mais c'est aussi à l'atterrissage que l'écoulement est naturellement le moins puissant. Dimensionner le convergent pour que durant cette phase l'on soit assuré d'avoir Mach=1 permettrait de réduire la taille de l'installation

Pour ce faire il suffit d'utiliser la loi des aires qui exprime le rapport des sections de col et d'entrée en fonction du nombre de Mach d'entrée pour peu que l'on soit sonique au col en conservant un écoulement isentropique:

$ \frac{A_1}{A_2}  = \frac {1}{M_1} ( \frac{2}{(\gamma +1)}(1+\frac{\gamma-1}{2} M_1^2) ^{\frac{\gamma+1}{2(\gamma-1)}}$ (4)

Si l'on prend Mach=0.2 ce qui est réaliste pour un atterrissage (70 m/s avec une célérité de 330m/s) on obtient un rapport d'air de 3 . Ce qui signifie de l'aire d'entrée doit être 3 fois plus grande que l'aire du col pour pouvoir assuré d'avoir Mach 1 au col à l'atterrissage. Cette relation sera utile dans une autre partie lorsque l'on aura déterminer les dimensions de l'éolienne.

Par contre dimensionner le convergent pour l'atterrissage implique de générer des chocs droits pour des nombres de Mach d'entrée plus grands car le régime sonique sera atteint plus en amont dans le convergent, nous discuterons des conséquences dans une autre partie.