Roue à inertie

Présentation

Les roues à inertie ou encore les volants d'inertie sont des systèmes tournant permettant de stocker et de restituer une quantité d'énergie cinétique . Généralement ils se présentent sous la forme de cylindre plein pouvant accueillir un arbre de transmission  au niveau de leur axe de révolution lorsque l'on a besoin d'énergie et qui sinon sont isolés de l'extérieur grâce à des roulements magnétiques ainsi qu'à un vide partiel. 

Leur principale utilisation jusqu'à présent se trouve dans le domaine ferroviaire avec par exemple le métro de la ville de Rennes qui possède un récupérateur inertiel pour éviter de perdre l'énergie cinétique dissipée lors des phases de freinage.

 

Une roue à inertie de 90 MJ crédit : Beacon Power

Une roue à inertie de 90 MJ. Crédit : Beacon Power

Ils ont l'avantage de pouvoir restituer relativement bien l'énergie qu'ils ont stocké (environ 80%). De plus ce système offre un accès à l'énergie immédiat, ce qui est préférable pour de bref pics de stress.

Historiquement ces volants sont fait d'acier, cependant depuis la démocratisation des polymères on peut en trouver en Kevlar ou encore en PVC offrant ainsi une diversité dans les masses/volumes disponibles. L'image ci dessus montre  un cylindre de plusieurs tonnes pouvant stocker jusqu'à 90 MJ, ce qui est trop par rapport au rôle de support de la solution non aérodynamique.

Pour ce faire une idée de la masse, du volume, ainsi que de la vitesse de rotation que doit avoir une roue à inertie pour pouvoir subvenir aux besoins vitaux de l'appareil, nous allons émuler une situation.

Développements analytiques

Nous allons supposer que notre roue à inertie est un cylindre plein de masse volumique $\rho$ de rayon $R$ de hauteur $H$ et de vitesse de rotation initiale $\omega_o$.

Le moment inertie de ce cylindre par rapport à son axe de révolution $\Delta$ s'exprime comme:

$ J_{\Delta} = \int_0^{2\pi} \int_0^H \int_0^R \rho r^2 r dr d\theta dz $ avec $r^2$ la distance au carrée d'un point à l'axe de révolution et $ r dr d\theta dz$ un volume élémentaire. L'intégration complète donne:

$J_{\Delta} = \frac{1}{2} \pi \rho H R^4 $

L'énergie cinétique contenue dans la rotation de ce cylindre vaut par définition $ E_c = \frac{1}{2} J_{\Delta} \omega^2$ 

Supposons alors qu'on veuille une puissance $P_{out}$ constante sur l'arbre de transmission, en combien de temps notre dispositif va t'il se décharger si l'on suppose qu'il n'y a pas de perte énergétique.

Si l'on effectue un bilan d'énergie cinétique on observe la relation suivante:

$ \frac{dE_c}{dt} = -P_{out} $ ce qui en remplaçant $E_c$ par son expression conduit à :

$ \frac{1}{2}J_{\Delta} \frac{d \omega^2}{dt}=-P_{out} $ qui s'intègre immédiatement de la manière suivante :

$ \omega^2 (t) = \omega_o^2-\frac{2 P_{out}}{J_{\Delta}} t $  qui peut être mise sous la forme :

$\omega(t)=\omega_o \sqrt{1-\frac{2 P_{out}}{\omega_o^2 J_{\Delta}} t} $ grâce à cette expression on a directement le temps de décharge qui vaut : $ \tau = \frac{\omega_o^2 J_{\Delta}}{2 P_{out}} $ (1)

Mise en pratique

On suppose que l'on veut une durée de fonctionnement de 20 minutes (1200 secondes), comme la durée du planer lors d'une panne des deux moteurs ainsi qu'une une puissance moyenne transmise sur l'arbre de 30 kW . On suppose, pour éviter des problèmes de vibration que la vitesse initiale de rotation est modérée ( 5000 tr/min ; 520 rad/s) . En remarquant que $ J_{\Delta} = \frac{1}{2} M R^2 $ avec $M$ la masse du cylindre . On peut alors adapter l'expression (1) :

$ M= \frac { 4 \tau P_{out}}{\omega_o^2 R^2} $ Si l'on suppose enfin, pour avoir une solution compacte que le diamètre du cylindre vaut 1m, on obtient alors une masse d'environ 2100kg. On voit dès lors que l'utilisation des roues à intertie est prohibitive car réellement trop lourdes.