Simulation

Le calcul est lancé avec les paramètres physiques donnés dans la publication de Chen, pour une goutte ayant un rayon initial 0.0337 cm, pour un temps physique de 120s afin d'obtenir une loi à partir des résultats de simulation, et pour voir si la différence avec les résultats de Chen sont très éloignés ou non. La propagation de la goutte est donnée sur l'animation suivante.

 

On a également tracé les évolutions du rayon, de la hauteur et de l'angle de contact afin d'obtenir des lois en fonction du temps. On suppose que ce sont des lois en puissance de type $ \alpha t^\beta $. La figure suivante montre les évolutions pour les trois grandeurs.

Figure : Évolution des différentes grandeurs 

Grâce à une fonction d'optimisation de Matlab, on détermine les coefficients des lois en puissance, et on constate que ces lois sont adaptées. Les coefficients a, c et e respectivement pour le rayon, la hauteur et l'angle de contact pourraient être modifiés pour mieux caler les courbes (avec le coefficient $\epsilon $), mais on constate que cela colle déjà plutôt bien. Le fit commence à 1 seconde car l'évolution avant n'est pas toujours régulière et ne varie pas toujours en loi puissance.

 

Nous avons aussi tracé les composantes énergétiques de l'équation d'équilibre énergétique en fonction du temps afin de voir leur évolution. Cette figure montre que les plus grandes variations d'énergie potentielle due aux tensions interfaciales et de dissipation visqueuse ont lieu au début de la propagation de la goutte. De plus, on constate que l'énergie cinétique et l'énergie potentielle gravitationnelle sont négligeables, même pendant la période initiale de la propagation. Ainsi, la diminution de l'énergie potentielle due aux tensions interfaciales compense uniquement la dissipation visqueuse afin que la goutte se propage.

            

Figure : Composantes énergétiques

Pour un même rayon de goutte initiale (0.0337 cm), on a comparé nos résultats pour la loi en puissance avec les résultats expérimentaux des travaux de Chen pour la hauteur et le rayon, ils sont résumés dans les tableaux suivants.

a b $\alpha$ $\beta$
0.09 0.195 0.087 0.107

Tableau : Simulation (a,b) vs Expérimental ($\alpha$, $\beta^$) pour le rayon

c d $\alpha$ $\beta$
0.029 -0.188 0.015 -0.231

Tableau : Simulation (c,d) vs Expérimental ($\alpha$ ,$\beta$) pour la hauteur

Ainsi, bien que la différence soit faible, les évolutions sont bien différentes, donc l'analyse mathématique était bien à refaire afin de trouver l'évolution théorique pour la hauteur et le rayon.