Bilan enthalpique

Bilan

Sur chaque phase, le bilan enthalpique s'écrit omme suit. Les échanges thermiques se décomposent en trois phénomènes : convection-diffusion, rayonnement et transfert de chaleur dû à la réaction. Le transfert du aux choc particules-particules sont négligés. En l'absence de source de chaleur, le bilan s'écrit :

\begin{equation*} \alpha_{k}~\rho_{k}~\frac{\partial H_{k}}{\partial t}+\alpha_{k}~\rho_{k}~U_{k}~\frac{\partial H_{k}}{\partial x_{j}} = \end{equation*}

\begin{equation} \frac{\partial}{\partial x_{j}} (\alpha_{k}~\rho_{k}~U_{k}~\frac{\partial H_{k}}{\partial x_{j}})+[H_{\sigma}-H_{k}]~\Gamma_{k}  \end{equation}

Il faut ajouter à ce bilan un terme de radiation. Ce terme est codé dans les sub-routines de Neptune avec un modèle de Rosseland. Les émissivités du char et de l'olivine sont respectivement 0.9 et 0.82 [1].

$H_{\sigma}$ est l'enthalpie de transfert qui prend en compte les échanges de chaleur entre les phases réactives. 

Calcul de l'enthalpie de transfert.

Cette enthalpie modélise l'échauffement du char et du gaz du à la réaction entre le char et l'oxygène. Elle s'écrit:

\begin{equation} H_{\sigma}=H_{CO_{2}}^{0}+(T_{3}-T_{ref})~(Cp_{c}-Cp_{CO_{2}})-(T_{1}-T_{ref})(Cp_{O_{2}}) \end{equation}

Avec :

$H_{\sigma}$=enthalpie formation du $CO_{2}$ = -393500 J/mol

$Cp_{c}$= capacité calorifique du char = 1700 J/kg

$Cp_{CO_{2}}$= capacité calorifique du dioxyde de carbone = 2000 J/kg

$Cp_{O_{2}}$ capacité calorifique du dioxygène

T désigne les températures de chaque phases avec $T_{ref}$ = 273.15 K

L'ensemble des capacités calorifiques varient avec la température. Cependant, ces variations ne seront pas prises en compte lors des simulations. Intégrer ces variations pourrait faire l'objet d'une amélioration future. Dans cette optique, le tableau ci-dessous récapitule l'évolution de la capacité calorifique des espèces gazeuses avec la température selon la formule [6]:

\begin{equation} Cp_{i} = A+B~t+C~t^{2}+D~{t^3}+\frac{E}{t^2}\end{equation}

Avec $t=T/1000$ et $T$ en $K$. Les $Cp$ sont données en $\mathrm{J/mol/K}$

Coefficient $N_{2}$ $O_{2}$ $CO_{2}$
Gamme T $[500;2000]$ $[700;2000]$ $[1200;6000]$
A $19.50583$ $30.03235$ $58.16639$
B $19.88705$ $8.772972$ $2.720074$
C $-8.598535$ $-3.988133$ $-0.492289$
D $1.369784$ $0.788313$ $0.038844$
E $0.527601$ $-0.741599$ $-6.447293$

Pour des températures comprises entre $273 \mathrm{K}$ et $1273 \mathrm{K}$, la capacité calorifique du char suit la corrélation [7] ($Cp_{c} \mathrm{kJ/kgK}$:

\begin{equation} Cp_{c}=0.42+2.09.10^{-3}T+6.85.10^{-3}T^{2} \end{equation}

Implémentation des fichiers sources

Il s'agit de coder dans l'user ushig.F l'expression du terme source $H_{\sigma}$. Neptune considère cette source sous la forme \begin{equation} HSHIG=BHGIG + \Sigma~ AHSIG(i)~dH(i) \end{equation}

           Pour la phase gaz

BHGIG = $-H_{\sigma}$

AHSIG(k) = $ \delta_{1,k}$

          Pour l'olivine

BHGIG = 0 , car l'olivine est inerte

AHSIG(1) = 0

        Pour le char

BHGIG = $H_{char}$

AHSIG(k) = $ \delta_{3,k}$

Où $\delta_{i,k}$ est le symbole de Kronecker.