Bilan thermique local

Ecoulement dans un tube (condensation externe)

Le fluide froid s'écoule en régime permanent dans un tube de diamètre intérieur $d_{tube}$. A l'abscisse $z$ (point i), il est à température $T_f(i)$, et la paroi interne à la température $T_{pi}(i)$.

Le fluide chaud, quant à lui, circule autour du tube, il est à la température $T_c(i)$ et la face externe de la paroi est à la température $T_{po}(i)$.

On effectue alors un bilan local en considérant le flux $dq$ échangé à travers l'aire latérale $dS$ comprise entre les abscisses $z$ et $z+dz$.

Convection entre le fluide chaud et la paroi externe du tube : $dq_{conv,o}=h_c(T_{c}(i)-T_{po}(i))\pi d_{ext}dz$
Conduction à travers la paroi solide (inox) : $dq_{cond}=\frac{k_{inox}}{ln(d_{ext}/d_{tube})}(T_{po}(i)-T_{pi}(i))2\pi dz$
Convection entre la paroi interne du tube et le fluide froid : $dq_{conv,i}=h_f(T_{p,i}(i)-T_{f}(i))\pi d_{tube}dz$

Note : dans notre étude, il est crucial de bien définir les flux thermiques en faisant apparaître les températures de paroi puisqu'elles nous serviront à calculer le coefficient d'échange côté fluide chaud, $h_c=f(T_{po}(i))$ (voir section Estimations des coefficients d'échange).

Ces trois flux étant égaux, le flux thermique $dq$ cédé au fluide froid par le fluide chaud est également donné par :$$dq=\frac{T_c(i)-T_f(i)}{\frac{1}{\pi d_{tube}h_f}+\frac{ln(d_{ext}/d_{tube})}{2\pi k_{inox}}+\frac{1}{\pi d_{ext}h_c}}dz$$

Lorsque l'écoulement devient diphasique, on doit calculer l'évolution du titre massique de vapeur en intégrant pas à pas: $$\dot{m}_c\frac{dx}{dz}=\frac{dq}{h_{lv}A}S_p$$où $S_p$ est le périmètre mouillé par le fluide chaud et $A$ la section de passage. On notera que la petite quantité de flux $dq$ est constante sur chaque tronçon.

Estimation des températures en aval (condensation externe)

[ Fluide chaud ]

Un bilan énergétique sur la section $dS$ assure que le flux thermique en $i+1$ est égal au flux en $i$ auquel on soustrait la chaleur $dq$ cédée au fluide froid :$$T_c(i+1)=T_c(i)-\frac{dq}{\dot{m}_cc_{p,c}}$$[ Fluide Froid ]

Le même raisonnement est établi avec cette fois un gain de chaleur :$$T_f(i)=T_f(i+1)+\frac{dq}{\dot{m}_cc_{p,f}}$$(le fluide froid s'écoule dans le sens des $z$ décroissants, par opposition avec le fluide chaud)

Note : On opère exactement de la même manière pour la condensation interne en prenant soin de modifier les surfaces d'échange.