Modèles hydrauliques

MODÈLES HYDRAULIQUES

Dans cette partie, l'écoulement est supposé annulaire sans arrachage. Les frottements interfaciaux τi sont modélisés grâce au modèle de Wallis tandis que les frottements pariétaux τp avec les modèles de Lockhart & Martinelli, de Baroczy et d'Awad. En ce qui concerne les pertes de charge singulières dans les coudes, un modèle issu d'expériences en laboratoire a été implémenté dans le programme.

Il faut toutefois rester vigilant à l'évolution du titre massique :

  • Lorsque la valeur de x devient importante (proche de 1), l'écoulement est alors considéré comme monophasique et il faut basculer vers des modèles monophasiques en transferts de chaleur et en hydraulique.

  • Inversement lorsque le titre x devient faible, les vitesses moyennes du liquide et du gaz sont du même ordre de grandeur Ul ~Ug, et le modèle homogène doit être appliqué. Ce modèle n'est cité qu'à titre informatif, car dans le cas présent, le titre est supérieur ou égale 0,3 ; il n'est pas question de l'utiliser.

 

Modèle Annulaire sans arrachage

Lorsque le taux de vide est important, la phase gazeuse occupe le centre du tube tandis que la phase liquide se trouve sous la forme d'un film le long de la paroi du tube, c'est ce que l'on appelle un écoulement annulaire. En fonction des conditions imposées, il se peut également qu'une partie non négligeable du liquide se trouve sous forme de gouttelettes en suspension dans le cœur de vapeur ; l'écoulement est alors dit annulaire dispersé. Il s'agit du modèle annulaire avec arrachage qui est traité plus loin (paragraphe 5).

La connaissance de l’épaisseur de film, notée t, est importante pour l’estimation des transferts thermiques. Cette épaisseur du film diminue au fur et à mesure que la vitesse superficielle de la vapeur augmente.

Les équations qui régissent ce modèle s'écrivent comme suit :

$\frac{dR_g}{dz}G^2(\frac{R_l x^2}{\rho_g R_g ^2}+\frac{R_g (1-x)^2}{\rho_l R_l ^2}) = -\frac{\tau_{ig}4}{D}\sqrt{R_g}+R_g \frac{\tau_p 4}{D}-(\rho_l - \rho_g) R_g R_l g + G^2 \frac{dx}{dz}(\frac{2xR_l}{\rho_g R_g} + \frac{(1-x)(2 R_g -1)}{\rho_l R_l})$ [1]

 

$\frac{dp}{dz} = \frac{-d}{dz}(\frac{G^2 x^2}{\rho_g R_g})-\frac{d}{dz}(\frac{G^2 (1-x)^2}{\rho_l R_l}) + \frac{\tau_p 4}{D} - (\rho_l R_l + \rho_g R_g) g$ [2]

 

$\frac{dx}{dz} = \frac{4q}{G D h_lv}$ [3]

 

$t = \frac{D}{2}(1-\sqrt{R_g})$

L’équation [1] est obtenue en éliminant le gradient de pression entre les équations de quantité de mouvement pour le liquide et la vapeur. L’équation [2] est l’équation de quantité d emouvement pour le mélange et l’équation [3], le bilan d’enthalpie.

Le taux de vide, les pertes de charge et le titre sont ainsi déterminés le long de l'évaporateur, pour chaque pas ∆z.

NB : Ces équations sont utilisées lorsque le fluide réfrigérant est au niveau d’un composant. Lorsque ce n’est pas le cas, l’écoulement est adiabatique et il n'y aucun changement de phase. Le taux de vide Rg et le titre massique x sont constants et les termes faisant intervenir les dérivées de x et Rg sont nuls dans les équations [1] et [2].

 

Frottement interfacial

Le Modèle de Wallis [2] permet de modéliser les frottements interfaciaux τi entre la phase liquide et la phase gazeuse. Il est défini comme suit: $\tau_i = -\frac{1}{2} f_i \rho_g |U_g - U_l|(U_g -U_l)$ avec  $f_i = 0.005 (1+300 \frac{\delta}{D}) = 0.005 [1 + 150(1-\sqrt{R_g})]$.

Les vitesses du gaz Ug et du liquide Ul sont déterminées à partir des vitesses superficielles Jg et Jl calculées à chaque pas spatial de la façon :

$U_g = \frac{J_g}{R_g}$,  $U_l = \frac{J_l}{R_l}$ , avec  $R_g + R_l = 1$   et  $J_g = \frac{G x}{\rho_g}$ , $J_l = \frac{G (1-x)}{\rho_l}$.

Frottement pariétal

Plusieurs modélisations des frottements pariétaux sont envisageables:

Modèle de Lockhart & Martinelli

Le modèle de Lockhart et Martinelli [2] permet de déterminer le frottement pariétal τp. Ce modèle est l'un des plus vieux et des plus utilisés pour calculer les pertes de charges diphasiques par frottement. Cette corrélation a été établie pour des écoulements adiabatiques en tube de section cylindrique. Il utilise le paramètre de Martinelli χ, qui compare la dissipation des deux phases.

Étape 1 : On calcule les pertes de charge dans la phase liquide et la phase gazeuse telles que :

$(\frac{dp}{dz})_l = -\frac{S_p}{A}f_{pl}\frac{\rho_l J_l ^2}{2}$ , $(\frac{dp}{dz})_g = -\frac{S_p}{A}f_{pg}\frac{\rho_g J_g ^2}{2}$.

Les coefficients de frottement pariétal sont définis de la manière suivante :

$f_{pl} = K(\frac{J_l D}{\nu_l})^{-n}$ , $f_{pg} = K(\frac{J_g D}{\nu_g})^{-n}$

Avec :

  • n = 1 et K=16 en écoulement laminaire ;

  • n = ¼ et K=0.079 en écoulement turbulent.

Les nombres de Reynolds sont basés sur les vitesses superficielles : $Re_l = \frac{J_l D}{\nu_l}$ , $Re_g = \frac{J_g D}{\nu_g}$.

Étape 2 : On calcule le paramètre de Martinelli χ, tel que:

$X = \sqrt{\frac{(dp/dz)_l}{(dp/dz)_g}} = \frac{J_l}{J_g}\sqrt{\frac{\rho_l f_pl}{\rho_g f_pg}}$

Étape 3 : On calcule les coefficients multiplicatifs φl et φg tels que :

$\varphi_l ^2 = (1+\frac{C}{X}+\frac{1}{X^2})$ , $\varphi_g ^2 = (1+ CX+X^2)$.

 

Le paramètre C étant fonction du régime d'écoulement :

Paramètre de Lockhart & Martinelli.
Liquide Gaz C
Turbulent Turbulent 20
Laminaire Turbulent 12
Turbulent Laminaire 10
Laminaire Laminaire 5

Le régime laminaire est défini pour un Reynolds inférieur à 2000 et le régime turbulent pour un Reynolds supérieur à 3000. Dans la zone de transition, il n'y a donc pas de corrélation. Dans les simulations, le changement de régime occasionne des discontinuités dans l'expression de la contrainte de frottement diphasique. Le problème a été résolu en utilisant le lissage proposé par Erik de Malmazet, post-doctorant ayant travaillé sur le sujet à l'IMFT. Cette interpolation linéaire de C est une fonction de log(Rel) et/ou log(Reg). Lorsqu'une seule des deux phases est dans la zone de transition (cas le plus fréquemment rencontré), l'interpolation linéaire de C est de type C(Rel)=a*log(Rel)+b ou C(Reg)=a'*log(Reg)+b'.

A titre d'exemple, dans le cas où le gaz est en régime turbulent et le liquide en régime de transition, la corrélation utilisée est :

$C(Re_l)= \frac{20-12}{log (3000)-log(2000)}*(log( Re_l)-log(2000))+12$

Dans le cas où les deux phases sont en zone de transition, on utilise deux interpolations linéaires de C du type C(Rel, Reg)=a*log(Rel)+b*log(Reg)+c, une pour le cas Rel>Reg et l'autre pour le cas Rel<Reg.

Étape 4 : On peut alors calculer les pertes de charge par frottement :

$\left ( \frac{dp}{dz} \right )_{fr}=\frac{\tau_p S_p}{A}={\varphi_l}^2 \left ( \frac{dp}{dz} \right )_{l}={\varphi_g}^2 \left ( \frac{dp}{dz} \right )_{g}$.

Modèle de Baroczy

La corrélation de Baroczy [3] consiste à exprimer les pertes de charge par frottement diphasique en fonction des pertes de charge par frottement (dP/dz)l que l’on aurait si la phase liquide s’écoulait seule avec le même débit masse qu'en écoulement diphasique. Pour cela, il faut pouvoir exprimer le coefficient multiplicatif  défini de la manière suivante :

${\varphi_{l0}}^2=\frac{\left ({dp}/{dz} \right )_{fr}}{\left ( {dp}/{dz} \right )_l}$

Pour cela, on utilise aussi les pertes de charge par frottement (dP/dz)g que l’on aurait si la phase vapeur s’écoulait seule avec le même débit de masse que l’écoulement diphasique et on introduit la variable Y définie de la manière suivante :

$Y^2=\frac{\left ({dp}/{dz} \right )_g}{\left ( {dp}/{dz} \right )_l}= \frac{1}{X^2}$

Les pertes de charge (dP/dz)l et (dP/dz)g sont définies de la même manière que dans le modèle de Lockhart et Martinelli.

Les deux phases s’écoulant seules, avec le même débit masse qu'en écoulement diphasique, auraient respectivement les vitesses moyennes  $V_l=G/\rho_l$ et $V_g=G/\rho_g$, à partir desquelles on peut définir les nombres de Reynolds  $Re_{V l}$ et $Re_{V g}$ . On a alors :

$Y^2=\frac{\rho_g}{\rho_l} \frac{f_{pg}}{f_{pl}}\frac{{J_{g}}^2}{{J_{l}}^2}$

Baroczy donne une expression de ${\varphi_{l0}}$ à partir de nombreux points expérimentaux pour différents fluides. La corrélation qu’il obtient est graphique mais ses courbes ont par la suite été corrélées par Chisholm en 1973, qui a obtenu l’expression suivante :

${\varphi_{l0}}^2=1+(Y^2-1) [B x^{\frac{2-n}{2}} (1-x)^{\frac{2-n}{2}}+x^{2-n}]$

n est l’opposé de l’exposant de  que l’on a dans f($Re_{V l}$), soit :

  • n = 1 si l’écoulement liquide seul est laminaire ( $Re_{V l}$< 2000)

  • n = 0.25 s’il est turbulent ( $Re_{V l}$> 2000).

B est une variable dépendant de Y et de G dont l’expression varie en fonction de la valeur de Y :

Paramètre de Baroczy.
Valeur de Y $0<Y<9,5$ $9,5 <Y<28$ $28<Y$
Valeur de B $\frac{55}{G^{1/2}}$ $\frac{520}{YG^{1/2}}$ $\frac{15000}{Y^2 G^{1/2}}$

Finalement, on peut calculer les pertes de charge par frottement :

$\left ( \frac{dp}{dz} \right )_{fr}= {\varphi_{l0}}^2 \left ( \frac{dp}{dz} \right )_{l}$

Modèle d'Awad

Le modèle d'Awad [4] est un autre modèle empirique qui permet de déterminer le frottement pariétal. On calcule le nombre de Reynolds de chaque phase tel que :

$Re_l=\frac{J_l D}{\nu_l} $ et $Re_g=\frac{J_g D}{\nu_g} $

Les coefficients de frottement pariétal liquide fpl et gazeux fpg sont définis de la même manière que dans le modèle de Lockhart et Martinelli.

On calcule alors le paramètre X, de la même façon que le paramètre de Martinelli :

$X=\frac{J_l}{J_g} \sqrt{\frac{\rho_l f_{pl}}{\rho_g F_{pg}}}$

Les définitions de $\varphi_l$ et $\varphi_g$ changent :

${\varphi_l}^2=\left ( 1+ \left (  \frac{1}{X^2} \right )^p \right )^{1/p}$  et  ${\varphi_l}^2=\left ( 1+ \left (  \frac{1}{X^2}\right )^p \right )^{1/p}$

 

La valeur du paramètre p est difficile à déterminer. Elle varie en fonction des cas et généralement, elle est choisie comme le minimum de l’erreur RMS. Pour assurer des conditions de robustesse, p = 2/7. On peut alors calculer le gradient de pression liquide et gazeux.

$\left ( \frac{dp}{dz} \right )_{l}=-\frac{S_p}{A}f_{pl}\frac{\rho_l {J_l}^2}{2}$ et  $\left ( \frac{dp}{dz} \right )_{d}=-\frac{S_p}{A}f_{pg}\frac{\rho_g {J_g}^2}{2}$

Le gradient de pression par frottement s'écrit alors :

$\left ( \frac{dp}{dz} \right )_{fr}=\frac{\tau_p S_p}{A}={\varphi_l}^2 \left ( \frac{dp}{dz} \right )_{l}={\varphi_g}^2 \left ( \frac{dp}{dz} \right )_{g}$

Finalement, le modèle d’Awad reprend les mêmes équations que le modèle de Lockhart et Martinelli. Les seuls paramètres qui changent sont les facteurs diphasiques $\varphi_l$ et $\varphi_g$.

 

Modèle Monophasique

Lorsque le titre de vapeur x atteint l'unité, c'est le modèle monophasique qui est utilisé. Le cahier des charges imposant en sortie un titre massique x proche de 1, il est normal de s'intéresser au cas d'un modèle à un fluide pour calculer les pertes de charge.

$\frac{dp}{dz}=\frac{4 \tau_p}{D}$ avec $\tau_p =-0,5f_c \rho_g {U_g}^2$.

Le coefficient de frottement pariétal fc dépend du régime d'écoulement dans lequel on se situe :$\left\{\begin{array}{l l} f_{c} = 16/Re_g & \quad \text{si $Re_g < 2000$}\\f_{c} = 0,079 Re_g ^{0,25} & \quad \text{si $Re_g > 2000$}\end{array} \right.$   

 

Perte de charge dans les coudes

La littérature [5] renseigne un modèle empirique pour les pertes de charge :

$\Delta p_{rb}= \Phi \Delta p_{sp}$

$\Delta p_{rb}$ est la perte de charge totale à travers un coude pour un écoulement diphasique et

$\Delta p_{sp}$ défini la perte de charge totale à travers un coude en écoulement monophasique. Elle s'écrit : $\Delta p_{sp}=K_{sp} \frac{G^2}{2 \rho_l}$.

Ksp est le coefficient de perte de charge local pour un écoulement monophasique liquide. Pour estimer sa valeur [Idelcik 1986] suggère l'expression suivante :

$K_{sp}=f_{pl} \frac{L}{D}+0,294 \left ( \frac{R}{D} \right )^{0,5}$

où R est le rayon de courbure et fpl le coefficient de frottement pariétal calculé par les modèles explicités précédemment.

Le coefficient multiplicateur pour l’écoulement diphasique ϕ est donné par : $\Phi=1+ \left ( \frac{\rho_l}{\rho_g} -1 \right ) x [b(1-x)+x]$ avec $b=1+ \frac{2,2}{K_{sp}(2+ \frac{R}{D})}$.