Modèles thermiques

 

MODÈLES THERMIQUES

Du point de vue thermique, il s'agit de modéliser les transferts de chaleur. Le type de corrélation utilisé dépend tout d'abord du régime d'ébullition, lié au taux de vide et plus généralement aux conditions d'entrée.

Pour le régime d'ébullition saturée, le liquide en entrée est à la température de saturation et son taux de vide n'est pas nul. On observe une forte évolution longitudinale de l'écoulement, ce dernier pouvant être à bulles, poches bouchons et annulaire. Mais on ne s’intéresse qu'au régime annulaire.

L'ensemble des flux dégagés par les composants électroniques est connu au sein de la géométrie ; ils sont tous constants. Cette chaleur est dissipée grâce à la vaporisation du fluide circulant dans l'évaporateur. L'objectif est de déterminer la température des différents composants.

En régime d'ébullition nucléée saturée, on suppose que le fluide dans l'évaporateur est à sa température de saturation Tl= TSAT , et que l'intégralité du flux thermique sert à vaporiser le fluide réfrigérant. De plus, on suppose que les phases vapeur et liquide sont en équilibre thermodynamique lorsque un changement d'état se produit au niveau du fluide. On peut alors accéder à l'évolution du titre massique le long de l'évaporateur :

$\frac{dx}{dz}= \frac{qS_p}{AGh_{lg}D}$

Pour chaque pas d'espace Δz, on peut ainsi calculer le titre massique x puis en déduire le coefficient d'échange thermique le long du tube. Le coefficient d'échange thermique est déterminé d'après les corrélations de Kandlikar, de Gunger & Winterton, de Schrock & Grossman et de Chen ; toutes décrites ci-dessous.

Calcul du coefficient d'échange thermique h

Notations et définitions

On introduit les grandeurs suivantes :

  • le nombre d'ébullition : $Bo=\frac{q}{Gh_{lg}}$
  • le nombre de Froude : $Fr=\frac{G^2}{{\rho_l}^2gD}$

  • le coefficient de transfert thermique de la phase liquide déterminé à partir de la corrélation de Dittus Boetler (1930) pour des écoulements turbulents: $h_l=0,023 \frac{\lambda_l}{D}{Re_l}^{0,8}Pr^{1/3}$

  • le Reynolds liquide basé sur le flux de masse et le taux de vide : $Re_l= \frac{G(1-x)D}{\mu_l}$

  • le Prandtl liquide : $Pr=\frac{\mu_l C_{pl}}{\lambda_l}$

  • le paramètre de Martinelli :  $X_{tt}= \frac{1-x}{x}  \sqrt{  \frac{\rho_g f_{pl}}{\rho_l f_{pg}} }$  et

 

Corrélations de Kandlikar

La corrélation de Kandlikar [2] exprime le coefficient d'échange thermique comme suit :

$h=h_l \left [ C_1 {C_0}^{C_2} (25Fr)^{C_5}+C_3 Bo^{C_4}F_k \right ]$

Pour déterminer les différentes constantes de l'équation, il est nécessaire de s'intéresser à l'écoulement dans la phase liquide. Pour cela, il faut calculer le nombre d'ébullition Bo, le nombre de Froude Fr et la constante C0 définie telle que   $C_0= \left ( \frac{1-x}{x} \right )^{0,8} \sqrt{\frac{\rho_g}{\rho_l}}$.

Les valeurs des constantes Ci sont déduites de C0 :

Paramètre de Kandlikar
  C0<0,65 C0>0,65
C1 1,1360 0,6683
C2 -0,9 -0,2
C3 667,2 1058
C4 0,7 0,7
C5 0,3 0,3

C5=0 pour les tubes verticaux et les tubes horizontaux quand Fr>0.04. Pour le fluide R245FA, Fk = 1,4.

 

Corrélation de Gunger & Winterton

Selon le modèle de Gunger et Winterton [2] $h=h_l \left [ 1+3000Bo^{0,86}+ \left ( \frac{x}{1-x} \right )^{3/4} \left ( \frac{\rho_l}{\rho_g} \right )^{0,41} \right ]$

 

Corrélation de Schrock & Grossman

Selon le modèle de Schrock et Grossman [2] $h=7,39.10^3 h_l \left [ Bo+0,00015 \left ( \frac{1}{X_{tt}} \right )^{0,66} \right ]$

 

Corrélation de Chen

Chen [2] a proposé la première corrélation pour de l'évaporation en tube vertical pour une large gamme de validité. Il a considéré le coefficient de transfert thermique de l'écoulement diphasique h comme la somme du coefficient de transfert thermique lié au phénomène de nucléation et au phénomène de convection.

Dans son modèle, il a supposé que le gradient de température imposé par les conditions de convection forcée supprimait une partie des sites de nucléation, réduisant ainsi le coefficient de transfert thermique associé à ce phénomène. Plus le titre augmente, plus la turbulence se développe favorisant ainsi les transferts de chaleur.

Le coefficient de transfert thermique peut ainsi être modélisé de la sorte : $h=Sh_n+Fh_l$ avec :

  • hn le coefficient de transfert thermique associé au phénomène de nucléation. On utilise pour cela la corrélation d'ébullition en cuve de Forster et Zuber (1955) :

    $h_n=0,00122 \left [ \frac{{k_l}^{0,79}{C_{pl}}^{0,45}{\rho_l}^{0,49}}{{\sigma}^{0,5}{h_{lg}}^{0,24}{\mu_l}^{0,29}{\rho_g}^{0,24}} \right ] (T_p-T_{sat})^{0,24}( P_{sat}(T_p)-P_l)^{0,75} $

  • S le facteur de suppression des sites de nucléation : $S=\frac{1}{1+2,53.10^{-6}(Re_lF(X_{tt})^{1,25})^{1,17}}$

  • F le coefficient multiplicateur qui représente l'augmentation du coefficient de transfert thermique par rapport à un écoulement monophasique : $F(X_{tt})=2,35 \left [ 0,213+ \frac{1}{X_{tt}} \right ]^{0,736}$  pour  ${X_{tt}}^{-1}> 0,1 $, sinon $F(X_{tt})=1$.

 

Modèle monophasique (x=1)

Lorsque le titre x tend vers un, l'écoulement est considéré comme monophasique vapeur. Le bilan thermique local s'écrit alors:GC_{pg} \frac{dT_g}{dz}=q \frac{S_p}{A}$. Tl correspondant à la température du liquide.

Pour un flux imposé: $T_g(z)-T_{ge}= \frac{q S_p}{AGC_{pg}}(z-z_e)$ et  $T_p(z)-T_{g}(z)= \frac{q}{h_g}$.

Le coefficient d'échange thermique est donné par : $h_g=0,023 \frac{\lambda_g}{D} [ \ \left (\frac{GD}{\mu_g} \right ) \ ] ^{0,8} Pr^{1/3}$

Calcul des températures

Maintenant que l'évolution du coefficient de transfert thermique est connue le long de l'évaporateur, la température en paroi et celle des différents composants peuvent être déterminées. Une schématisation simplifiée des résistances thermiques permet de relier ces deux températures. Les tubes cylindriques sont attachés à des ailettes. Ces ailettes sont-elles-mêmes en contact avec les composants en question. Les composants électroniques sont imités par des résistances qui dissipent de l'énergie de manière homogène. Les différentes résistances prises en compte sont les suivantes :

  • Une résistance de convection au niveau de l'échange fluide / paroi, déterminée par des modèles de coefficient d'échange thermique.

  • Une résistance de conduction entre la paroi des tubes et les ailettes, calculée en fonction du coefficient h et de l'ordre de 2.10-4 K.m2/W.

  • Une résistance de contact entre la semelle de l'évaporateur et l'imitateur qui vaut 2.10-4 K.m2/W.

La figure ci-dessous représente le circuit de résistances associé au problème. Certains composants sont parcourus plusieurs fois par les tubes (n*3 tubes), dans ce cas, le sens de l'écoulement n'est pas le même: la gravité change de signe.

Par une analogie électrique, les températures de la paroi, des ailettes et des composants peuvent être déterminées à partir de celle du fluide.

La méthode est la suivante:

$T_p=T_{sat}+ \frac{q}{h}$ en diphasique; ou  $T_p=T_{sat}+ \frac{q S_p}{AGC_{pg} }\Delta z +\frac{q}{h_g} $ en monophasique;

$T_{ailette}=T_p + \frac{3 \pi n_{passages} DR_{cond}Q}{Ll^2}$

$T_{composant}=T_{ailette}+R_{contact} \frac{Q}{Ll}$

où  q est le flux de chaleur surfacique échangé à la paroi en W/m²,

Q est la puissance dissipée par l'élément en W,

l la largeur de l'ailette en m,

L la longueur du composant en m et

nPASSAGE le nombre de passages du tube.