Détachement et décollage de bulles

Détachement et décollement des bulles

Inventaire des forces

L’écoulement est de type ascendant dans un tube vertical. L’axe x est orthogonal à la paroi et l’axe y est tangent à la paroi et est orienté vers le haut (Cf. configuration de la bulle). Vu que l’on s’intéresse au détachement et au détachement de bulle, on s’intéressera particulièrement à la projection du produit fondamental de la dynamique suivant l’axe x. L’inventaire des forces s’exerçant sur la bulle est le suivant :

  • La force de flottabilité :  $F_b=V_b(\rho_l-rho_g)g$
  • La force de tension de surface : $F_s=2\int{\pi}^{0} \sigma r_c t(s) ds$

Elle est simplifiée grâce aux travaux de Klausner et al.  Ainsi, la composante intéressante de la force capillaire est approximée par :  $F_{sx}≈2 r_c \sigma \frac {pi}{\alpha _\beta}(cos \beta - cos  \alpha)$

$r_c$: représente le rayon du pied de la bulle

t le vecteur unitaire tangent à la surface de la bulle et perpendiculaire à la ligne de contact triple

s l’angle polaire le long du pied de la bulle

α et β les angles de contact (cf. configuration de la bulle)

  • La force de pression de contact : $F_{cp}=(P_g -P_l)\pi r_c²=\frac{2 \sigma}{r_r}\pi r_c²e_x$

$P_g -P_l$ la différence de pression au pied de la bulle

$r_r$ le rayon de courbure au pied de la bulle entre 5R et 2R (modèles)

  • La force de portance : $F_l=\rho_l C_l V_b (U_l-U_b)\land rot U_l$

Le coefficient de portance est modélisé grâce à la corrélation de Legendre et Magnaudet [16] qui s’écrit : $C_l=\sqrt{(C_l^{low})^2+(C_l^{high})^2}$

Avec $C_l^{low}=\frac{6}{\pi}\frac{2,255}{sqrt{Re_b S_r}(1+0,2 \frac{Re_b}{S_r})^{\frac{3}{2}}}$  , $C_l^{high}=\frac {1}{2}\frac{1+16/Re_b}{1+29/Re_b}$ et $S_r=\frac{2 \omega R}{|U_l-U_b|}$

  • La force de trainée : $F_d=\frac{1}{2}\rho_l \pi C_d R²||U_l-U_b||(U_l-U_b)$ 

Le coefficient de portance utilisé est celui développé par Legendre et al [16]: 

$$C_d=\frac{48}{Re_b}(1+g(s)-(1+s^{-3})\frac{2,211}{Re_b^{0,5}}+O(Re_b^{-5/6})$$

  $s=\frac{distance entre le centre de deux bulles}{rayon des bulles}$s=2 dans le cas de deux bulles en contact

$g(s)=s^{-3}+\frac{3}{4}s^{-6}+O(s^{-7})$:la correction de Kok

  • La force d’inertie : $F_I=- \rho_l \frac {d}{dt}(V_b(t)(U_b-U_l))-\rho_l C_{am1xy}\frac{d}{dt}(V_b(t)(U_b-U_l))- \rho_l V_b(t)(C_{am2} \frac{(dR/dt)²}{R}+C_{am3} (\frac{d²R}{dt²}))e_y$

D’après les travaux de Legendre et al [16] : $C_{am1x}=0,636$, $C_{am1y}=0,784$ ,$ C_{am2}=-\frac{1}{2}$, $C_{am3}=-\frac{1}{2}$