Modèle à trois flux

1. Modèle à trois flux

Le modèle de Kurul et Podowski est un modèle d'ébullition nucléée présentée en 1990 très largement cité dans la littérature. C'est le modèle utilisé par Neptune_CFD comme fermeture du transfert de chaleur en paroi.

Ce modèle décompose la paroi chauffée en deux zones distinctes qui sont traitées séparément comme le décrit la figure suivante :

Dans la zone grise de surface $A_{nb}$ aucune bulle ne se forme. Ainsi, le seul flux de chaleur dans cette zone est un flux de convection : toute la chaleur sert à chauffer le liquide sous-refroidi.

Dans les zones blanches de surface totale $A_{eb}$ les bulles se forment puis se détachent à une fréquence $f$. Lors de la formation de la bulle, la totalité de la chaleur sert à évaporer le liquide à $T_{sat}$. C'est un flux d'évaporation net. Lorsque la bulle se détache, le liquide froid remouille la paroi à l'endroit où était la bulle. Un flux de conduction instationnaire modélise l'énergie nécessaire pour réchauffer le fluide sous-refroidi jusqu'à la température $T_{sat}$ à partir de laquelle une nouvelle bulle se forme.

L'aire $A_{eb}$ correspond à l'aire de la paroi occupée par la surface adimensionelle projetée des bulles.
\begin{equation*}
A_{eb}=K \pi r_d^2 N_a
\end{equation*}

Où :
       - $K$ est un facteur de projection
       - $N_a$ est la densité de site de nucléation, en site par mètre carré.

La somme des aires adimensionelles $A_{eb}$ et $A_{nb}$ doit donc être égale à l'unité :
\begin{equation*}
A_{eb}+A_{nb}=1
\end{equation*}

 

Finalement le flux total de chaleur transmis au fluide par la paroi, $\Phi_{\omega}$, est une somme de trois flux.
\begin{equation}
\Phi_{\omega}=\Phi_e + \Phi_c + \Phi_{ci}
\end{equation}

Où :
       - $\Phi_e$ est le flux d'évaporation net
       - $\Phi_c$ le flux de convection
       - $\Phi_{ci}$ le flux de conduction instationnaire

 

      2. Zone d'aire $A_{nb}$.

Le flux de convection entré par défaut dans Neptune_CFD est un flux de convection forcée. Or, dans la cas étudié, l'ébullition se fait dans un fluide au repos donc le phénomène de convection observé est un phénomène de convection naturelle.

La loi de Newton donne l'expression du flux de chaleur surfacique en convection (l'expression est ici pondérée par $A_{nb}$ car ce flux n'a lieu que dans les zones où il n'y a pas de bulle) :

\begin{equation}
\Phi_c=h (T_{\omega}-T_{l}) A_{nb}
\end{equation}

Afin de modéliser le coefficient de transfert $h$, la corrélation de Dropkin-Sommerscales à été validée par le deuxième groupe travaillant sur ce projet (Renaudière de Vaux Sébastien et Davy Guillaume) pour l'oxygène liquide.

\begin{equation*}
Nu=0.069 \ Ra^{1/3} \ Pr^{0.074}
\end{equation*}

Où :

  • $Pr$ est le nombre de Prandtl du liquide.

\begin{equation}
Pr=\frac{\nu_l}{D_l}
\end{equation}

  • $Ra$ est le nombre de Rayleigh du liquide
    \begin{equation}
    Ra=\frac{g \beta (T_{\omega}-T_l) L_c^3}{\nu_l D_l}
    \end{equation}
     
  • $Nu$ est le nombre de Nusselt
    \begin{equation}
    h=Nu \frac{L_c}{k_l}
    \end{equation}
     

Avec :
          - $\mathbf{k_l }$ : conductivité thermique du liquide
          - $\mathbf{g }$ :  gravité
          - $\mathbf{\beta}$ : coefficient d'expension volumétrique
          - $\mathbf{\nu_l}$  : viscosité cinématique et dynamique du liquide
          - $\mathbf{T_{\omega}}$ : Température de la paroi
          - $\mathbf{T_l}$ : Température du liquide
          - $\mathbf{D_l }$ : diffusivité thermique du liquide

La grandeur caractéristique $L_c$ choisie ici est la taille de l'élément chauffant.

   

             2. Zone d'aire $A_{eb}$ :

Dans cette zone, deux phénomènes ont lieu tour à tour : la formation de la bulle qui correspond à un flux d'évaporation net et le remouillage de la zone par le liquide froid ce qui correspond à un flux de conduction instationnaire.

Évaporation :

 

Le flux d'évaporation net est modélisé dans Neptune_CFD par:
\begin{equation}
\Phi_e=f \ \rho_g \ h_{lg} \ V  N_a
\end{equation}

Avec :
          - $f$ : fréquence de décollement des bulles
          - $\mathbf{\rho_g}$ : masse volumique du gaz
          - $\mathbf{h_{lg}}$ : chaleur latente de vaporisation
          - $V$ : volume de la bulle
                 $V=\frac{4}{3}\pi r^3$
         - $\mathbf{N_a}$ : densité de site de nucléation [$m^{-2}$]
 

Conduction instationnaire :

Le flux de conduction instationnnaire est modélisé dans Neptune par :

\begin{equation}
\Phi_{ci}= \sqrt{f} \ \frac{2 k_l (T_{\omega}-T_l)}{\sqrt{\pi D_l}} A_{eb}
\end{equation}