Validation du code en convection naturelle

Avant de lancer le calcul sur une situation réelle, il est nécessaire de valider le code sur des situations tests, soit en validant des cas théoriques simples, soit en retrouvant des résultats expérimentaux. Dans notre cas, il existe assez peu de résultats théoriques, mais de nombreux résultats expérimentaux ont été publiés. La convection naturelle entre deux plaques planes a longtemps été étudiée, dans diverses configurations. Nous étudierons deux cas particuliers de convection naturelle :

  • dans une cavité carrée aux parois verticales chauffées et refroidies ;
  • entre deux plaques planes horizontales longues.

L'étude portera sur le comportement du nombre Nusselt à différents nombres de Rayleigh pour de l'air lors de la validation.

Nombre de Nusselt

Le nombre de Nusselt représente un flux de chaleur convectif adimensionné par le flux conductif correspondant au même écart de température et sera défini comme suit tout au long de notre étude :

\begin{equation} \boxed{Nu=\dfrac{1}{l^2} \int_0^l \int_{0}^l \left( u^* T^* - \dfrac{ \partial T^*}{\partial y^*} \right) dxdy}\end{equation}

 

où les grandeurs $.^*$ sont des grandeurs adimensionnées :

\begin{eqnarray} u^* &=& \dfrac{u l}{\kappa} \\ y^* &=& \dfrac{y}{l} \\ T^* &=& \dfrac{T-T_{froid}}{T_{chaud}-T_{froid}} \end{eqnarray}

Les grandeurs $l$, $\kappa$, $u$, $T_{froid}$ et $T_{chaud}$ réprésentent respectivement la hauteur de la boîte, la diffusivité thermique du fluide, la vitesse du fluides et les températures des parois.

Nombre de Rayleigh

Le nombre de Rayleigh compare les transferts thermiques par conduction aux transferts par convection. On le définit comme :

\begin{equation} \boxed{Ra=\dfrac{g \alpha l^3 }{\nu \kappa}}\end{equation}

avec $\alpha$ un coefficient de dilatation thermique et $g$ l'accélération de la gravité.

Loi de Gay-Lussac (air)

Pour un écoulement d'un gaz chauffé, les variations de densité doivent être prises en compte. Pour une transformation à pression constante, la loi des gaz parfaits donne :

\begin{equation}P=\rho r T \end{equation}

ce qui donne $\rho T= constante$. On obtient donc la loi de Gay-Lussac :

\begin{equation}\boxed{\rho_1 =\rho_0 \dfrac{T_0}{T_1}}\label{gaylussac}\end{equation}

Code source du fichier Fortran 77 (NCELET est le nombre de cellules) :


    DO IEL = 1, NCELET
        PROPHY(IEL,IROM(IPHAS)) = RO0(IPHAS) *T0(IPHAS) /W1(IEL)
    ENDDO

Modèle de Boussinesq (liquides)

L'écoulement est considéré comme incompressible mais les sources thermiques modifient la densité dans le terme de gravité des équations de Navier-Stokes uniquement.

\begin{equation} \boxed{\dfrac{\rho}{\rho_0} = 1-\alpha (T-T_0) }\label{boussinesq}\end{equation}

où $\rho_0$ est une densité de référence et $\alpha$ une constante qui dépend du fluide.

Code source du fichier Fortran 77 (NCELET est le nombre de cellules) :


    DO IEL = 1, NCELET
        PROPHY(IEL,IROM(IPHAS)) = RO0(IPHAS) *(1-
        & alpha*(W1(IEL)-T0(IPHAS)))
    ENDDO