Mise en situation

Géométrie

La géométrie de référence est un tandem de cylindres plongé dans un écoulement turbulent  et incompressible. Le cylindre amont est fixe, le cylindre aval est placé dans le sillage du premier. Il peut se déplacer dans la direction transverse à l'écoulement (direction z). Les deux cylindres ont pour diamètre D, la distance qui les sépare est L = 3.7D. L'ensemble des calculs sera effectué en géométrie 2D.

                  

On considère un écoulement d'air de masse volumique $\rho_f$ et de viscosité cinématique $\nu$ autour d'un cylindre de diamètre D = 1m. L'écoulement se fait à nombre de Reynolds  Re = 166 000 et nombre de Mach Ma = 0.13. On note $U_{\infty}$ la vitesse de l'écoulement loin en amont du tandem.

                     

Modèle dynamique

On modélise le cylindre aval par un oscillateur masse/ressort amorti soumis au forçage aérodynamique du cylindre amont. L'oscillateur possède un degré de liberté, et peut se translater dans la direction z. On s'intéresse ici à l'étude dynamique (l'étude statique ayant été faite par les équipes des années précédentes).  Le principe fondamental de la dynamique appliqué au cylindre s'écrit:

$$  \rho_s \, \ddot{z}  + \eta \, \dot{z} + k \, z = F_z $$

Avec $ \rho_s $ la densité de la structure, $ \eta $ son coefficient d'amortissement, et k sa raideur. $ F_z $ désigne le forçage aérodynamique qui s'applique sur le cylindre. Après adimensionnalisation, cette équation s'écrit:

$$   \ddot{\zeta} + K \, \dot{\zeta} + \left(\frac{2 \, \pi}{U_r} \right)^2 \, \zeta = \frac{C_z}{2 \, m}   $$

Avec

$ m = \rho_s/\rho_f \, D^2$  le rapport des masses (structure/fluide),  $ K = \eta \, D / \rho_s \, U_{\infty} $ l'amortissement adimensionnel,  $  \displaystyle{U_r = 2 \, \pi \, \frac{U}{D} \, \sqrt{\frac{\rho_s}{k}} }$  la vitesse réduite, et  $ \displaystyle{ C_z = \frac{2 F_z}{\pi \, D \, \rho_f \, U_{\infty}^2} } $  le coefficient de portance. En définissant le nombre de Scruton par $Sc = K \, U_r / 4 $, l'équation précédente s'écrit finalement:

$$   \ddot{\zeta} + 4 \frac{Sc}{U_r} \, \dot{\zeta} + \left(\frac{2 \, \pi}{U_r} \right)^2 \, \zeta = \frac{C_z}{2 \, m}   $$

Le système {fluide + structure} est donc entièrement caractérisé par les trois paramètres adimensionnés Sc, $U_r$ et m.