Implémentation des fichiers sources

Equation de combustion : $C_s + {O_2}_{(g)} \rightarrow {CO_2}_{(g)}$

Scalaires : $\chi_{d}$ et $Y_{CO_{2}}$

Conservation du nombre de particules par unité de masse $\chi_{d}$ :

$\alpha_{p} \rho_{p} \chi_{d}+\frac{\partial}{\partial x_i}\alpha_{p} \rho_{p} U_{p,i} \chi_{d}=\frac{\partial}{\partial x_i}(\alpha_{p} \rho_p D_{p,\chi_{d}} \frac{\partial \chi_d}{\partial x_{i}}) +\psi_{p}$

$\psi_{p,\chi_c}=0$ car il n'y a pas d'attrition ou d'agglomération

$\alpha_{p}\rho_{p}\frac{\partial \chi_d}{\partial t} +\alpha_{p}\rho_{p}U_{p,i}\frac{\partial \chi_d}{\partial x_i}= \frac{\partial}{\partial x_i}(\alpha_{d} \rho_{p} D_{p,\chi_d} \frac{\partial \chi_o}{\partial x_i}) - \chi_d \Gamma_c$

 

d'où $ \left\{
\begin{array}{ll}
TSA =\frac{-\Gamma_{c}\chi_d}{\alpha_c} \\
TSB = \frac{\partial TSA}{\partial \chi_d}=-\frac{\Gamma_c}{\alpha_c}\\
\end{array}
\right.$

On prendra $\chi_{d}$ égal à 1 à l'instant initial dans l'injecteur : en effet, les particules de char n'ont pas encore subi de réaction de combustion donc $d=d_0$.

Conservation de l'espèce gazeuse $CO_{2}$ :

$\Psi_{CO_2}=-\frac{W_{CO_2}}{W_c}\Gamma_c$

$\alpha_g \rho_{g}Y_{CO_2}+\frac{\partial}{\partial x_i} \alpha_{g} \rho_{g} U_{g,i} Y_{CO_2} = \frac {\partial}{\partial x_i}(\alpha_{g}\rho_{g}D_{g,Y_{CO_2}}\frac{\partial Y_{CO_2}}{\partial x_i}) +\Psi_{g,Y_{CO_2}}$

$\alpha_{g} \rho_{g} \frac{\partial Y_{CO_2}}{\partial t} + Y_{CO_2} \frac{\partial (\alpha_{g} \rho_{g})}{\partial t} + Y_{CO_2} \frac{\partial}{\partial x_i}(\alpha_{g}\rho_{g}U_{g,i})+\alpha_{g}\rho_{g}U_{g,i}\frac{\partial Y_{CO_2}}{\partial x_i} = \frac{\partial}{\partial x_i}(\alpha_{g}\rho_{g}D_{g,Y_{CO_2}}\frac{\partial Y_{CO_2}}{\partial x_i}) - \frac{W_{CO_2}}{W_c}\Gamma_c$

Or on a : $\frac{\partial}{\partial t} (\alpha_{g}\rho_{g})+\frac{\partial}{\partial x_i}(\alpha_{g} \rho_{g} U_{g,i})=\Gamma_g=-\Gamma_c$

d'où $\alpha_{g} \rho_{g} \frac{\partial Y_{CO_2}}{\partial t}alpha_{g} \rho_{g} U_{g,i} \frac{\partial}{\partial x_i} Y_{CO_2} - \Gamma_{c}Y_{CO_2}=\frac{\partial}{\partial x_i} (\alpha{g} \rho_{g} D_{g,Y_ {CO_2}} \frac{\partial}{\partial x_i} Y_{CO_2}) _\frac{W_{CO_2}}{W_c}\Gamma_c$

d'où $\alpha_{g} \rho_{g} \frac{\partial Y_{CO_2}}{\partial t}alpha_{g} \rho_{g} U_{g,i} \frac{\partial}{\partial x_i} Y_{CO_2}=\frac{\partial}{\partial x_i} (\alpha{g} \rho_{g} D_{g,Y_ {CO_2}} \frac{\partial}{\partial x_i} Y_{CO_2})+\Gamma_{c}(Y_{CO_2}-\frac{W_{CO_2}}{W_c})$

 

d'où $ \left\{
\begin{array}{ll}
TSA =\frac{-\Gamma_{c}}{\alpha_g}(-\frac{W_{CO_2}}{W_c}+Y_{CO_2}) \\
TSB = \frac{1}{\alpha_g}(\frac{W_{CO_2}}{W_c}\frac{\partial \Gamma_c}{\partial Y_{CO_2}}+\Gamma_c)=\frac{\Gamma_c}{\alpha_g}\\
\end{array}
\right.$

On prendra $Y_{CO_2}$ nul à l'instant initial.

Conservation de l'espèce gazeuse $CO_{2}$ :

Dans les fichiers sources de Neptune il nous faut coder la densité volumique de transfert de masse $\Gamma=-\frac{k_{c}SC_{O_2}}{V}$ avec $S=4\Pi R^2$ et $V=\frac{4}{3}\Pi R^3$ respectivement la surface externe et le volume de la particule sphérique de char.

$C_{02}$ est calculée dans la partie $\href{http://hmf.enseeiht.fr/travaux/bei/beiep/content/g12/modelisation-equations}{\textbf{Implémentation des équations}}$, k vaut $10^-{3} m/s$ et R=d/2 avec d=0,00344 m le diamètre initial d'une particule de char.