Maintenant que les hypothèses sont connues, il est temps de présenter les bilans qui permettent d'obtenir les grandeurs de sortie :

Les bilans ci dessous pour les phases solide et gazeuse sont écrits tels qu'ils apparaissent dans le code 1D. Leur forme finale présente un unique terme à gauche de l'égalité qui est la dérivée par rapport à la hauteur z d'une des inconnues qui passe par le sous programme de résolution.

Bilans de masses :

Ils concernent les phases solide (k=p) et gazeuse (k=g) et s'écrivent sous cette forme pour une phase k :

$$\underbrace{\frac{{\partial \alpha_k \rho_k}}{\partial t}}_{\text{nul par hypothèse}} + \frac{{\partial (\alpha_k \rho_k U_k) }}{\partial z} = \Gamma_k \tag{1.0}$$

En développant le terme de gauche (1.0) devient :

$$ \alpha_k \rho_k \frac{{d  U_k }}{d z} + U_k \frac{{d (\alpha_k \rho_k)}}{d z}= \Gamma_k \tag{1.1}$$

L'écriture de (1.1) pour les deux phases donne accès aux dérivées du taux de présence du solide $\alpha_g$ et de la vitesse du gaz $U_g$ :

Pour la phase solide :

$$\frac{{d \alpha_p}}{d z}= (\frac{\Gamma_p}{\rho_p} - \alpha_p \frac{{d  U_p}}{d z}) \frac{1}{U_p} \tag{1.2}$$

Pour la phase gaz :

$$\frac{{d  U_g }}{d z} = (\frac{\Gamma_g}{\rho_g} -  U_g \frac{{d \alpha_g }}{d z}) \frac{1}{\alpha_g} \tag{1.3}$$

$$\sum_{k} \Gamma_k = 0 \tag{1.4}$$

$$\sum_{k} \alpha_k = 1 \tag{1.5}$$

Rappel : $\rho_p$ est constante et $\rho_g$ est supposée constante sur un pas d'espace.

Bilans de quantités de mouvements :

Ici sont obtenues les dérivées de la pression et de la vitesse d'une particule de char :

$$\underbrace{\frac{{\partial \alpha_k \rho_k U_k}}{\partial t}}_{\text{nul par hypothèse}} + \frac{{\partial \alpha_k \rho_k U_k^2 }}{\partial z} = -\alpha_k \frac{\partial P}{\partial z} - \alpha_k \rho_k g + I_{l \to k} + (\underbrace{U_{\sigma}}_{U_{\sigma} = U_p} - U_k) \Gamma_k + F_{f,w \to k} \tag{2.0}$$

En développant le terme de gauche de (2.0) il vient :

$$2 \alpha_k \rho_k U_k \frac{{d U_k}}{d z} + U_k^2 \rho_k  \frac{{d \alpha_k }}{d z} = -\alpha_k \frac{d P}{d z} - \alpha_k \rho_k g + I_{l \to k}+(U_p - U_k) \Gamma_k + F_{f,w \to k} \tag{2.1}$$

Pour le solide :

$$\frac{{d U_p}}{d z} = -(\alpha_p \frac{d P}{d z} - \alpha_p \rho_p g + I_{g \to p} - U_p^2 \rho_p  \frac{{d \alpha_p }}{d z}) \frac{1}{2 \alpha_p \rho_p U_p} \tag{2.2}$$

Pour le gaz :

$$\frac{d P}{d z} = (- \alpha_g \rho_g g + I_{p \to g} + (U_p - U_g) \Gamma_g + F_{f,w \to g} - U_g^2 \rho_g  \frac{{d \alpha_g }}{d z} - 2 \alpha_g \rho_g U_g \frac{{d U_g}}{d z}) \frac{1}{\alpha_g}  \tag{2.3}$$

$ I_{l \to k} = \alpha_l \rho_l \frac{U_r}{\tau^F_{gp}}$ avec $U_r = (U_l - U_k)$

$$\frac{1}{\tau^F_{gp}} = \frac{3}{4} \frac{\rho_g}{\rho_p} \frac {C_D Re_p}{d_p} U_r$$

$\tau^F_{gp}$ est le temps caractéristique d' entraînement des particules par l'écoulement

$Re_p$ est le nombre de Reynolds particulaire tel que : $Re_p = \frac{\rho_g d_p U_r}{\mu_g}$

$C_D$ est le coefficient de traînée approximé ici par la corrélation de Wen & Yu :

$$C_D = \frac{24}{Re_p} (1+0.15 Re^{0.687}_p) \alpha_g$$

Rappel : $U_{\sigma} = U_p$ par hypothèse

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Bilans d' enthalpies :

Ces deux bilans permettent d'obtenir les évolutions des températures du gaz $T_g$ et des particules de char $T_p$ :

$$\underbrace{\frac{\partial \alpha_k \rho_k H_k}{\partial t}}_{\text{nul par hypothèse}} + \frac{\partial  \alpha_k \rho_k U_k H_k}{\partial z} = \underbrace{H_{\sigma}}_{H_{\sigma} = H_p} \Gamma_k + \Pi_{k \to l} \tag{3.0}$$

En développant le terme de gauche il vient :

$$\alpha_k \rho_k U_k \frac{d  H_k}{d z} +  H_k \underbrace{\frac{d  (\alpha_k \rho_k U_k)}{d z}}_{= \Gamma_k \text{,(1.0)}} = H_{p} \Gamma_k + \Pi_{k \to l} \tag{3.1}$$

Pour le solide :

$$\alpha_p \rho_p U_p Cp_p \frac{d  T_p}{d z} = \underbrace{\frac{\alpha_p \rho_p Cp_p}{\tau^T_{gp}} (T_p - T_g)}_{ \Pi_{p \to g}} \tag{3.2}$$

Finalement (3.2) devient :

$$ \frac{d  T_p}{d z} = \frac{(T_p - T_g)}{U_p \tau^T_{gp}} \tag{3.3}$$

Pour le gaz :
 

$$\alpha_g \rho_g U_g Cp_g \frac{d  T_g}{d z} = (H_s - H_g) \Gamma_g + \underbrace{\frac{\alpha_s \rho_s Cp_s}{\tau^T_{gp}} (T_g - T_s)}_{ \Pi_{g \to s}} \tag{3.4}$$

Enfin (3.4) s'écrit :

$$\frac{d  T_g}{d z} = \frac{(H_s - H_g)}{\alpha_g \rho_g U_g Cp_g} \Gamma_g + \frac{\alpha_s \rho_s Cp_s}{\alpha_g \rho_g U_g Cp_g \tau^T_{gp}} (T_g - T_s) \tag{3.5}$$

$\tau^T_{gp}$ est le temps caractéristique des phénomènes de transferts thermiques type convection/diffusion

$$\frac{1}{\tau^T_{gp}} = \frac{6 \lambda_g}{\rho_p Cp_p} \frac{Nu_p}{d^2_p}$$

Le nombre de Nusselt est approximé par la corrélation de Ranz-Marshall :

$$Nu_p = 2+0.6 Re^{0.5}_p Pr^{0.33}_p$$

$Pr_p$ est le nombre de Prandt tel que : $Pr_p = \frac{Cp_g \mu_g}{\lambda_g}$

Rappel : $H_{\sigma} = H_p$ par hypothèse

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Transports des scalaires :

Il s'agit ici de connaître les variations de la fraction massique de $CO_2$ et du diamètre des particules de char, à travers la grandeur $\chi_d$, sur un pas d' espace :

Pour la fraction massique de $Co_2$ :

$$\underbrace{\frac{{\partial \alpha_g \rho_g Y_{CO_2}}}{\partial t}}_{\text{nul par hypothèse}} + \frac{{\partial \alpha_g \rho_g U_g Y_{CO_2} }}{\partial z} = \frac{\omega_{CO_2}}{\omega_{C}}\Gamma_g \tag{4.0}$$

En développant le terme de gauche, (4.0) devient :

$$ \alpha_g \rho_g U_g \frac{d Y_{CO_2}}{d z} + Y_{CO_2} \underbrace{\frac{d (\alpha_g \rho_g U_g)}{d z}}_{= \Gamma_g \text{(1.0)}} = \frac{\omega_{CO_2}}{\omega_{C}}\Gamma_g \tag{4.1}$$

Ce qui donne :

$$\frac{d Y_{CO_2}}{d z} = (Y_{CO_2} - \frac{\omega_{CO_2}}{\omega_{C}}) \frac{\Gamma_p}{ \alpha_g \rho_g U_g} \tag{4.2}$$

Pour $\chi_d$ :

$$\chi_d = \frac{\rho^0_p}{\rho_p} (\frac{d^0_p}{d_p})^3 = (\frac{d^0_p}{d_p})^3$$

Avec $d^0_p$ le diamètre initiale des particules

$$\underbrace{\frac{{\partial \alpha_p \rho_p Y_{CO_2}}}{\partial t}}_{\text{nul par hypothèse}} + \frac{{\partial \alpha_p \rho_p U_p \chi_d }}{\partial z} = 0 \tag{5.0}$$

Puis (5.0) donne :

$$ \alpha_p \rho_p U_p \frac{{d \chi_d }}{d z} + \chi_d \underbrace{\frac{{d (\alpha_p \rho_p U_p) }}{d z}}_{= \Gamma_p \text{(1.0)}} = 0 \tag{5.1}$$

Finalement :

$$\frac{{d \chi_d }}{d z}  = \frac{\chi_d \Gamma_p}{\alpha_p \rho_p U_p} \tag{5.2}$$

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Les grandeurs non constantes :

Il faut préciser que la masse volumique du mélange gazeux $(\rho_g)$, sa capacité calorifique à pression constante $(Cp_g)$, la concentration molaire en $O_2$ $(C_{O_2})$, le terme de transfert de masse $\Gamma_p$ ainsi que le diamètre des particules $d_p$ sont réactualisé à chaque itération

Masse volumique du mélange gazeux $(\rho_g)$ :

$$\rho_g = \frac{P}{R T_g} \underbrace{\bigg(\frac{\displaystyle{\sum_{i=1}^2 Y_i}}{\displaystyle{\sum_{i=1}^2 (\frac{Y_i}{\omega_i})}}\bigg)}_{\omega_{\text{mélange}}}\tag{6.0}$$

Capacité calorifique à pression constante $(Cp_g)$ :

$$Cp_g = \sum_{i=1}^2 (Cp_i Y_i) \tag{7.0}$$

Concentration molaire en $O_2$ $(C_{O_2})$ :

$$C_{O_2} = \frac{(1-Y_{CO_2}) \rho_g \alpha_g}{\omega_{O_2}} \tag{8.0}$$

Le taux de transfert de masse (le terme source $\Gamma_s$ en $kg.m^{-3}.s^{-1}$) va lui aussi varier à chaque pas d' espace puisqu'il s'exprime tel que :

$$\Gamma_s = \frac{6 \alpha_s r_c \omega_c}{d_p} \tag{9.0}$$

$$(\Gamma_s = - \Gamma_g)$$

avec $r_c$ la loi de vitesse pour la réaction de combustion hétérogène (en $mol.m^{-2}.s^{-1}$ pour une particule de char) telle que :

$$r_c = - \frac{1}{S_{\text{particule}}} \underbrace{\frac{d n_c}{d t}}_{(1)} = - k_c (\underbrace{C^{\text{surface}}_{O_2}}_{(2)} - C^{\infty}_{O_2})$$

Avec (1) : la variation du nombre de mole par rapport au temps pour une particule de char

        (2) : terme nul par hypothèse

d'où $$r_c = -k_c C^{\infty}_{O_2} \tag{10.0}$$

$k_c$ est le coefficient de transfert de matière du gaz vers la particule de char (en $m.s^{-1}$) et s' approxime de la manière suivante dans ce cas :

$$k_c = \frac{Sh \quad D_{O_2}}{d_p} \backsimeq \frac{2}{d_p} \frac{T_g^{\frac{2}{3}}}{P} \tag{11.0}$$

Rappel : Le nombre de Sherwood est pris égal à 2 et le coefficient de diffusion du $O_2$ dans l'air est approximé tel qu'il apparaît au dessus.

Le diamètre des particules de char $d_p$ :

$$d_p = d^0_p \chi^{-\frac{1}{3}} \tag{12.0}$$

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