Lit Fluidisé Dense

Pour modéliser la partie dense du combusteur , un modèle RAC réacteur agité continu a été utilisé, partant du fait que dans cette partie on peut considérer qu'on a un milieu parfaitement  mélangé.

\(\begin{equation} Entrée - Sortie \pm \underbrace {accumulation}_{=0}+ réaction = 0\end{equation}\)

Pour le réacteur agité continu (RAC), la concentration est considéré uniforme dans tout le réacteur et égale à la concentration de la sortie. Également les températures des phase sont uniformes et égales aux température à la sortie pour un temps de sejour (temps de remplissage du volume RAC) $\tau > 3 min$, la phase gazeuse du milieu est formée du dioxygène $O_2$ et du diazote $N_2$ qui sont les seules composants de l'air injecté, ainsi que le dioxyde du carbone $CO_2$ qui est le produit de la combustion. La phase solide est constitué du char est considéré comme du carbone pur et le média ici l'olivine est inerte. 

BIlan de matière

Les équations à résoudre dans cette partie sont les suivantes:

$F_{O_{2_S}} - F_{O_{2_E}} - r_C S_{pc} \alpha_c V_{rac} = 0 \tag{1.0}$

\(\begin{equation} F_{C_{2_S}} - F_{C_{2_E}} + r_C S_{pc} \alpha_c V_{rac} = 0 \tag{1.2}\end{equation}\)

\(\begin{equation} F_{CO_{2_S}} - F_{O_{2_E}} + F_{O_{2_S}} =0  \tag{1.1}\end{equation}\)

\(\begin{equation} F_{N_{2_S}} - F_{N_{2_E}} =0 \tag{1.3} \end{equation}\)

\(\begin{equation} F_{M_S} - F_{M_E} \tag{1.4} =0 \end{equation}\)

  • $F_i$ est le débit molaire du constituant i
  • $r_c$ exprime la vitesse de la réaction
  • $S_pc$ surface spécifique de la particule
  • $\alpha_i$ est le taux de présence du constituant i
  • La combustion est traduite par l'unique  réaction  $C_{(s)} + O_{2_{(g)}} \to CO_{2_{(g)}}$
  • Le média et Le diazote sont des constituants inertes dans cette réaction

Taux de présence :

le taux de présence es défini comme le ratio entre le volume occupé par le constituant et le volume du réacteur $\alpha_c = \frac{V_c}{V_RAC} = \frac{\sum_{i=1}^{Nc} N_{p{c_i}} \frac{\pi}{6} d_{p_{ci}}^3}{V_{RAC}}$ où $N_pci$ est le nombre de particules contenus dans la classe i , en faisant l'hypothèse que $N_pci = N_{pci0}$ on obtient que $N_{p_{ci}} = \frac{\alpha_{ci0} V_{RAC}}{\frac{\pi}{6}{d_{pci0}}^3}$ et $\alpha_{ci_0}$ est le taux de présence du char initial pour la classe i et alors si on prends $\beta _i$ la fraction massique da la classe i on a alors $\alpha_{ci_0} = \beta_i \alpha_{c0}$. $\alpha_{ci0}$ et $\alpha_{m0}$ sont connues sachant que le char représente 3% en masse de débit d'entrée du média. Il nous reste alors à donner une relation pour déterminer le diamètre.

Le diamètre des particules char

Afin de déterminer les diamètres pour chaque classe i, on part de la variation temporelle de la quantité de matière pour une seule particule possedant un diametre $d_{pci}$, ainsi on obtient : $\frac{dn_{pci}}{dt}=\frac{\pi}{6}\frac{\rho _c}{M_c}3{d_{pci}}^2\frac{dd_{pci}}{dt}$, en utilisant l'equation donnant la relation la variation de la quantité de matière et la vitesse de réaction on obtient $\frac{dd_{pci}}{dt}=-k_cC_{O_2}$, en intégrant cette équation on peut determiner le diamètre, il reste à déterminer alors la vitesse de réaction.

La loi cinétique

On s'interesse ici à exprimer le terme $r_c$ dont on a besoin pour poursuivre la résolution du problème, les hypotheses suivantes sont utilisées:

  • Le modèle de la sphère rétrécissante est utilisé pour décrire la combustion des particules de toutes les classes
  • La réaction de combustion est controllée par le transfert de $O_2$ dans la couche limite et la cinétique de réaction à la surface de la particule.

On obtient $r_c=-\frac{C_{O_2}}{\frac{1}{k_t}+\frac{1}{k_r}}$ où $k_r$ est la vitesse de réaction qu'on exprime par une loi de type Arrhenius telle que $k_r=k_{r0}Texp(\frac{E_a}{RT})$ et $k_t$ est la vitesse de transfert qu'on exprime comme $k_t=\frac{Sh D_{O_2}}{d_{pc}}$ et $Sh$ est le nombre qui compare les transferts total du milieu aux transferts par diffusion et $D_{O_2}$ est le coefficient de diffusion du $O_2$dans le mélange gazeux.

La Surface spécifique

La surface spécifique d'une particules char est définie comme $S_{pc}=\frac{6}{d_{pc}}$ dans notre cas , pour prendre en compte toutes les taille du char existants dans le combusteur on prendra la moyenne des surfaces spécifiques de toutes les particules donc $S_{pc} = \frac {1}{N_c} \sum_{i=1}^{N_c} \frac {6}{d_{p_i}}$