Modèle de Bernoulli avec perte de charge

La perte de charge $\begin{equation}\Delta H^{PDC}_{1→0} \end{equation}$peut être décomposée en perte de charge due aux frottements pariétaux et celle dues aux pertes de charge singulières:

\begin{equation}\Delta H^{PDC}_{1→0} = \Delta H_{frot}+\Delta H_{sing} \end{equation}

avec   \begin{equation} \Delta H_{frot} = K_{frot}.\frac{h}{D_h} \frac{1}{2} \rho v^2\end{equation} et   \begin{equation} \Delta H_{sing} = (K_{fconvergent}+K_{entrée Buse}) . \frac{1}{2} \frac{L_{Buse}}{D}\rho v^2\end{equation} où $\begin{equation} L_{Buse}\end{equation}$ est la longueur de la buse et $\begin{equation} D_h\end{equation}$ est le diamètre hydraulique de réservoir de section rectangulaire défini par : \begin{equation} D_h = \frac{2 Ll}{L+l}\end{equation}

Par le biais de corrélations empiriques, on retrouve les différents coefficients:

 

 Coefficient de frottement pariétal :

Le frottement du retardant sur les parois du réservoir entrînent une perte de charge dont le coefficient est donné par les deux corrélations dépendantes du régime de l'écoulement:

   ♦ En régime laminaire :     $\begin{equation} K_{frot} = \frac{64}{Re}\end{equation}$

   ♦ En régime turbulent :    $\begin{equation} K_{frot} = 0.3164.Re^{-0.25}\end{equation}$

 

  Coefficient de pertes de charge due au convergent  :

   La diminution de la section causée par la présence du convergent entrîne une perte de charge de plus dont le coefficient est donné par:

   - $\begin{equation} K_{convergent}= 10^{-4}\frac{n(n^4-1)}{4(n-1)} \end{equation}$ avec $\begin{equation} n= \frac{D_h}{D}\end{equation}$

Coefficient de pertes de charge due à l'entrée de la buse  :

      - $\begin{equation} K_{entréeBuse}= \frac{1}{2}  \end{equation}$

 

Aprés le calcul, on trouve  $\begin{equation} K_{entréeBuse}= \frac{1}{2}  \end{equation}$,$\begin{equation} K_{convergent}= 0.016 \end{equation}$ et  $\begin{equation} K_{frot}= 0.011  \end{equation}$

 

De manière analogue au cas précédent et en utilisant la loi de conservation des débits, on peut écrire:

\begin{equation}\frac{dh}{dt}=\sqrt{\frac{2gh+{\frac{2 \Delta P}{\rho}}}{1-\frac{L l}{\pi R^2}(1+K_{frot}\frac{h}{D_h}+(K_{convergent}+K_{entréeBuse})\frac{L}{D})}}. \frac{\pi R^2}{L l}\end{equation}

La solution analytique de cette équation est fastidieuse, numériquement, on peut tracer la solution h(t) :

  ⇒Effet des pertes de charges sur le temps de vidange:

Différence de pression$\begin{equation} \Delta P\end{equation}$ (bar)

0.1

0.22

0.58 0.92
 Temps de vidange t95 avec perte de charge (s)(*) 7.6 ( 24%) 5.8( 41% ) 3.8( 12%) 3 ( 41%)
 Temps de vidange t95 sans perte de charge (s) 6.1 4.1 3.4 2.7

(*) : pourcentage d'augmentation relative du temps de vidange t95% défini par:

\begin{equation} p=100. \frac{t^{AvecPDC} - t^{SansPDC}}{t^{SansPDC}}  \end{equation}

Par le biais de cette grandeur, on peut voir que les pertes de charges augmentent le temps de vidange

    Cela pourra être confirmé en traçant le temps de vidange en fonction de la différence de pression avec et sans pertes de charges. On peut déduire que pour la même différence de pression, le temps de vidange est plus grand avec pertes de charge ce qui impose un choix optimal du matériau du réservoir afin de réduire le minimum possible les pertes de charges.