Analyse théorique et étude préliminaire

Dans cette partie, nous présentons les équations analytiques qui permettent de décrire ce problème de couche limite turbulente.

Pour simplifier le problème, nous ferons les hypothèses les hypothèses suivantes :

  • On considère que le problème est 2D plan $ \Rightarrow$ $  \frac{\partial} {\partial z} =0 $ et Uz=0.
  • On considère que le problème est stationnaire $ \Rightarrow$ $ \frac{\partial} {\partial t} =0 $.
  • On suppose que l'air est un gaz parfait.
  • On considère que l'écoulement suit l'hypothèse de Boussinesq, i.e les propriétés du fluide (l'air) sont constantes, sauf la masse volumique $ \rho $ dans le terme des forces de volume (la gravité) qui ne dépend que de la température T.

          $ \frac{\rho}{\rho_r} = 1 - \beta (T-T_r) $

Avec :   $T_r$  : La température de référence, pour notre cas $T_r = 15°C $

              $\rho_r$ : La masse volumique de référence.

              $\beta $ : Le coefficient de dilatation thermique (en K-1)
 
Par définition, $\beta = - \frac{1}{\rho} \frac{d \rho}{d T}(T=T_r)$ , pour un gaz parfait (notre cas) $\beta =\frac{1}{T_r} $ .
A.N     $\beta = 3.47 1e-3 $
  • On suppose que $ \frac{\partial} {\partial y} >>  \frac{\partial} {\partial x} $ .

Avec ces hypothèses, les équations de conservation en couche limite en convection naturelle sont :

L'équation de continuité :

               $ \frac{\partial U} {\partial x} +  \frac{\partial V} {\partial y} =0 $

L'équation de conservation de quantité de mouvement :

$ U \frac{\partial U} {\partial x} + V \frac{\partial U} {\partial y}  =  \frac{\partial }{\partial y} (\nu \frac{\partial U}{\partial y})+ g \beta (T-T_r) $

Quant à l'équation de l'énergie (ou de la température), puisqu'en convection naturelle, l'écoulement est à faible nombre de Mach (vitesses faibles associées à la convection naturelle), donc pas de terme de dissipation, par suite cette équation donne :

L'équation de l'énergie :

$ U \frac{\partial T} {\partial x} + V \frac{\partial T} {\partial y}  = \frac{\partial  }{\partial y} (\alpha ​\frac{\partial T}{\partial y}) $

On remarque bien que le terme de flottabilité couple le problème hydrodynamique et le problème thermique. Certes le modèle de Boussinesq complique le problème par rapport à celui du problème incompressible, mais c'est beaucoup plus simple que celui compressible.

Nous pouvons à ce stade, mener une étude dimensionnelle pour quantifier les paramètres adimensionnels qui contrôlent notre problème. En adimensionnalisant les équations précédentes, on voit bien l'apparition du fameux nombre de Grashof   : $ Gr_L=\frac{\beta g L^3 (T_w-T_a)}{\alpha^2} $. Ce nombre qui compare l'effet des forces de flottabilité à celui des forces visqueuses, joue le même rôle que celui du nombre de Reynolds en convection forcée. Et donc pour comparer l'effet de la convection naturelle à celui de la convection forcée, il suffit de comparer le nombre de Grashof et la racine du Reynolds.

 

Modélisation de la turbulence :

Pour modéliser la turbulence, nous allons nous baser dans un premier temps sur la résolution RANS. Cette approche consiste à moyenner les équations précédentes (moyenne d'ensemble) en utilisant la décomposition de Reynolds.

​Avec les mêmes hypothèses précédentes, on obtient :

L'équation de continuité :

$ \frac{\partial \mathbf{U}} {\partial x} +  \frac{\partial \mathbf{V}} {\partial y} =0 $

L'équation de conservation de quantité de mouvement :

$ \mathbf{U} \frac{\partial \mathbf{U}​ } {\partial x} + \mathbf{V} \frac{\partial \mathbf{U}} {\partial y}  =  \frac{\partial}{\partial y} (\nu \frac{\partial \mathbf{U}}{\partial y} - \overline{u' v'})+ g \beta (\mathbf{T}-T_r) $​

L'équation de l'énergie :

$ \mathbf{U} \frac{\partial \mathbf{T}} {\partial x} + \mathbf{V} \frac{\partial \mathbf{T}} {\partial y}  = \frac{\partial  }{\partial y} (\alpha ​\frac{\partial \mathbf{T}}{\partial y} - \overline{v' T'}) $

Les grandeurs en gras représentent des grandeurs moyennes, les termes en ' représentent les fluctuations.

Le long de ce projet, nous allons adopter l'approche RANS. Cependant, nous allons tester plusieurs modèles de turbulences : k-epsilon, k-epsilon RNG, RSM,...etc