Influence des pertes de charge

Nous allons maintenant compléter le modèle précédant en prenant en compte les pertes de charge à la fois singulières au niveau de la sortie et linéaires sur les parois du réservoir.

\[ \frac{V_{1}^{2}}{2g} + z_{1} + \frac{P_{1}}{\rho g} =   \frac{V(z = 0)^{2}}{2g} + z_{2} + \frac{P_{2} + \Delta P_{PdC}}{\rho g}  \]

avec $\Delta P_{PdC} = \Delta P_{S} + \Delta P_{R} $

  • Perte de charge singulière à la sortie :

Lors de la vidange du réservoir, la restriction de l'écoulement au niveau du tube d'éjection provoque un première perte de charge dont il peut être nécessaire de tenir compte dans nos calculs afin de se rapprocher au plus près du résultat "réel".

L'expression de cette perte de charge est la suivante :

\[ \Delta P_{S} = \xi \rho \frac{V(z=0)^{2}}{2} \]

avec $ \xi = 0.5 $ dans notre cas.

 

  • Perte de charge régulière sur les parois :

Le frottement du liquide sur les parois du réservoir provoque également des pertes de charge dans le système. Celles-ci se modélisent de la façon suivante :

\[ \Delta P_{R} = \lambda \rho \frac{V(z=0)^{2}}{2} \frac{h}{L}  \]

 

avec $ \lambda $ le coefficient de perte de charge dont l'expression dépend de la nature de l'écoulement (Laminaire ou Turbulent).

 

En effet :

  • En régime Laminaire (Re < 2000), $ \lambda = \frac{64}{Re} $
  • En régime Turbulent (Re > 2000), $ \lambda = 0.316 Re^{-0.25} $

Ainsi, en insérant ces pertes de charge dans l'équation de Bernoulli, nous obtenons comme expression de la vitesse en sortie de réservoir :

\[ V(z=0) = \sqrt{ \frac{ 2gh + \frac{2 \Delta P}{\rho}}{ 1 - \frac{\pi R^2}{L l} + \lambda \frac{h}{L} + \xi} }  \]

 

Nous avons utilisé MATLAB afin de résoudre cette équation non linéaire.

Voici les résultats obtenus :

 

$P_{2} - P_{1}$ 20 000 Pa 27 500 Pa 35 000 Pa 40 000 Pa 50 000 Pa
Temps de vidange  6.2 s (+21.6%)* 5.5 s (+22.2%) 5 s (+21.9%) 4.7 s (+20.5%) 4.3 s (+22.8%)

* Comparaison avec le temps de vidange sans prendre en compte les pertes de charges

Nous trouvons bien un temps de vidange plus grand avec les pertes de charge. Nous comparerons par la suite nos résultats avec ceux obtenus dans le cas d'une simulation en trois dimensions.