Vidange selon le modèle de Bernouilli

Considérons maintenant que l'on impose une pression en entrée d'un réservoir d'eau. En connaissant la pression à la sortie du réservoir on peut prévoir, avec la loi de Bernoulli, déterminer le temps de vidange.

Un première estimation consiste à étudier avec l'équation de Bernoulli la vidange d'un réservoir parallélépipèdique d'un volume de 7.5 m3 avec une différence de pression variable entre l'entrée et la sortie.

À l'aide de l'équation \[ \frac{V_{1}^{2}}{2g} + z_{1} + \frac{P_{1}}{\rho g} =   \frac{V(z = 0)^{2}}{2g} + z_{2} + \frac{P_{2}}{\rho g}  \]

Et à l'aide de la conservation du débit : \[ V(z = 0) * \pi R^2 = V_{interface} * S_{interface} \]

On obtient : 

\[ V(z = 0) = \sqrt{ \frac{2 g h + \frac{2(P_{1} - P_{2})}{\rho}}{1 - \frac{\pi r^{2}}{l L}}} \]

Puis, la conservation du débit nous donne la relation suivante : 

\[ V_{interface} = V(z = 0) * \frac{\pi R^2}{L * l} \]

Or $ V_{interface} = - \frac{dh}{dt}$ d'où, on obtient l'équation suivante : 

\[ \frac{dh}{dt} = - \sqrt{ \frac{2 g h + \frac{2(P_{1} - P_{2})}{\rho}}{1 - \frac{\pi r^{2}}{l L}}} * \left ( \frac{\pi R^2}{L * l} \right ) \]

 

La résolution de cette équation a été réalisé à l'aide de MATLAB et les résultats sont représentés dans le tableau et le graphe suivant :

 


 

L'industriel nous a indiqué que l'on pouvait imposer une pression en entrée jusqu'à 1.5 bar. Les résultats contenu dans le tableau suivant ont été réalisé pour un diamètre en sortie de 60 cm : 

$P_{2} - P_{1}$ 20 000 Pa 27 500 Pa 35 000 Pa 40 000 Pa 50 000 Pa
Temps de vidange  5.1 s 4.5 s 4.1 s 3.9 s 3.5 s

 

Ces premiers résultats, simplement à l'aide de l'équation de Bernoulli nous indique qu'il sera probablement possible d'atteindre un temps de vidange de 8 secondes, Cependant, cette première approche impose de fortes hypothèses non vérifiés dans la réalité. En effet, nous supposons tout d'abord que le fluide est parfait et ne possède donc pas de viscosité, or le fluide utilisé pour la vidange est un fluide assez visqueux et donc ces résultats sont donc déjà fortement remis en questions. De plus, nous supposons que la surface libre est horizontale à tout instant, ce qui ne sera sûrement pas le cas et donc entraînera donc une dissipation d'énergie qui ralentira la vidange du réservoir. Les résultats obtenus sont donc à relativiser et ne donne qu'un ordre de grandeur de la pression à imposer nécessaire à la vidange d'un tel réservoir.