Calculs des vitesses de remontée


CALCULS DES VITESSES DE REMONTÉE


L'un des travaux centraux de notre projet réside dans le calcul des vitesses de remontée pour chacune des particules. Cela car elle intervient en plusieurs points : dans la composante d'advection de nos modèles de simulation et c'est la pièce angulaire de cette phase de traitement des débris.

 

  • Théorie sur les particules solides dans un fluide

On s'intéresse ici à l'ascension d'une particule solide sphérique dans un fluide au repos. Le bilan des forces sur la particule nous donne l'équation :

$m_p \frac{dV_p}{dt} = m_p g+ \sum Forces fluides \rightarrow Particule$

$\sum Forces fluides \rightarrow Particule = F_{Archimède}+F_{Histoire}+F_{Trainée}+F_{Masseajoutée}+F_{Magnus}$

On fait l'hypothèse de négliger les forces d'Histoire et de Magnus et on exprime les autres forces comme :

$F_{Archimède} = -m_f g$

$F_{Trainée}=C_D\pi R^2 \frac {1}{2} \rho_f \|U-V_p\| (U-V_p)$

avec $C_D=\frac{24}{Re}(1+0.15Re^{0.687})$ et $Re=\frac{\rho_f d \|U-V_p\|}{\mu_f}$

$F_{Masseajoutée}=-\frac{1}{2}C_M m_f \frac{dV_p}{dt}$

Dans le cadre de notre étude on s'intéresse au régime établit, on choisit donc $\frac{dV_p}{dt}=0$ et de plus U=0. On obtient don le bilan suivant :

$0=(m_p-m_f)g-6\pi\mu_f R(1+0.15Re^{0.687})V_{p \: TERM}$

 

D'où : 

$V_{p \: TERM}=\frac{(m_p-m_f)g}{6\pi\mu_f R(1+0.15Re^{0.687})}$

Rem : on calcule ici la valeur de $V_p$ comme positive mais il faut bien avoir à l'esprit que le vecteur $\vec{V_p}$ est dirigé du fond vers la surface.

Dans cette théorie on a donc $V_p$ qui dépend du $C_D$, qui lui dépend du $Re$, qui lui même dépend du $Vp$... Il faut donc procéder à une résolution par itération qui converge vers les valeurs correctes de ces trois termes.

Capture d'écran du fichier excel de calcul itératif de la solution

Les valeurs des vitesses, coefficients de traînée et nombres de Reynolds sont données dans les tableaux ci-après.

Tableau des vitesses de remontée

 

Tableau des coefficients de traînée

 

Tableau des nombres de Reynolds

 

Rem : toutes ces valeurs ont été calculées avec la densité des débris après avoir subit le phénomène de biofouling expliquer dans la partie II.

Ces vitesses de remontée nous permettent alors de déterminer le rendement d'un séparateur gravitaire dans une cuve de dimensions données, c'est ce que nous allons aborder maintenant.