1. Analyse préliminaire

Cette validation concerne l'étude du transfert thermique entre une plaque plane chauffée et un courant d'air incident. Il s'agit par conséquent d'un cas de transfert thermique par convection forcée.

 

Présentation générale d'un écoulement sur plaque plane chauffée

Un écoulement incident sur une plaque plane chauffée sera principalement caractérisé par le développement d'une couche limite dynamique (en vitesse) et d'une couche limite thermique (en température).

  • L'origine du développement de la couche limite dynamique provient des effets de viscosité, c'est-à-dire de diffusion de quantité de mouvement, entre le fluide incident et la plaque. En effet, la vitesse du fluide est nulle sur la plaque, tandis qu'elle est non nulle à l'infini, ce qui implique qu'au voisinage de la plaque il y ait une zone de transition : la couche la plus lente freine la couche la plus rapide, qui, en retour, l'accélère. La couche limite dynamique est une zone où la variation de vitesse est la plus marquée, c'est-à-dire là où l'on trouve de forts gradients de vitesse. La vitesse à l'extrémité de la couche limite est égale à 99% de la vitesse à l'infini, on a donc :

$$U(\delta)=0,99  U_0$$

L'épaisseur de la couche limite varie selon la relation suivante[3] :

$$\delta(x)= 4,64 \sqrt \frac {\nu  x} {U_0}$$    

$\nu$ : viscosité cinématique du fluide incident en $m^2/s$

$x$ : abscisse de la plaque en $m$

$U_0$ : vitesse du fluide incident en $m/s$

 

  • De la même manière que la couche limite dynamique, la couche limite thermique est une zone proche de la plaque où la température varie de façon significative entre la température de la plaque et la température du fluide incident. La température à l'extrémité de la couche limite est telle que :

$$\frac{T(\delta_T)-T_P} {T_\infty - T_P} = 0,99$$

 

L'épaisseur de la couche limite thermique varie selon l'expression suivante[3] :

$$\delta_T= \frac { \delta} {1,026  Pr^{1/3}} =5,09 \sqrt \frac {\nu  x} {U_0}$$  

$\alpha$ : diffusivité thermique du fluide incident en $m^2/s$

Régimes d'écoulement sur plaque plane

 

Position du cas de validation

Notre cas de validation se présente tel que l'illustre la figure ci-dessous. De l'air incident à une vitesse de 50 cm/s et à une température de 293 K arrive sur une plaque plane chauffée à une température de 348 K.

Schéma du cas de validation du logiciel OpenFOAM

 

Avant de procéder à toute simulation, une analyse préliminaire est requise afin d'identifier les phénomènes et ordres de grandeur.

 

Hypothèses et mécanismes prédominants

  • écoulement stationnaire
  • écoulement établi
  • écoulement monophasique, pas de phénomène d'évaporation ou de condensation
  • problème à deux dimensions x et y
  • invariance par translation suivant l'axe z
  • convection prépondérante devant conduction et rayonnement
  • convection forcée
  • température considérée comme un scalaire passif (aucune influence sur l'hydrodynamique)

 

Échelles caractéristiques

  • longueur de la plaque : $L = 10  cm$
  • vitesse incidente : $U_0=50  cm/s$
  • iso-contour de température à l'épaisseur de la couche limite thermique : $T(\delta_T)=0,99  (T_{\infty}-T_P)+T_P=293,55  K$
  • iso-contour de vitesse à l'épaisseur de la couche limite dynamique :  $U(\delta)=0,495   m/s$

 

Détermination des nombres adimensionnels

  • nombre de Reynolds

Pour une plaque plane, le nombre de Reynolds de transition entre les régimes laminaire et turbulent est environ :

$${Re_{tr} \approx 5.10^5} $$

Dans notre cas de validation, le nombre de Reynolds à l'extrémité de la plaque s'écrit :

$${Re}=\frac{U_0 L} {\nu_{air}}=\frac {50.10^{-2} \times 10.10^{-2}} {1,495.10^{-5}}=3344,5$$

L'écoulement au-dessus de la plaque est donc laminaire en tout point de celle-ci.

  • nombre de Prandtl

$$Pr=\frac {\nu_{air}} {\alpha_{air}}=0,698$$

 

Corrélation théorique

Dans notre cas de convection forcée sur plaque plane, d'après l'ouvrage Fundamentals of Heat and Mass Transfers, Sixth Edition de Frank P. Incropera et David P. DeWitt, la corrélation qui sera utilisée pour vérifier nos résultats est la suivante, qui relie le nombre de Nusselt local aux nombres de Prandtl et de Reynolds locaux :

 

$$Nu_x = \frac{h_x x}{\lambda} = f(Pr) {Re_x}^{0,5}$$

avec :                                            $f(Pr)=0,332  Pr^{1/3}$    pour    $0,6<Pr<50$