1. Analyse préliminaire

 

Présentation générale d'un cas de convection naturelle autour d'un cylindre

En convection naturelle, lorsqu'un cylindre horizontal, de température $T_P=75 °C$ est immergé dans un fluide de température $T_{\infty}=20 °C$, une couche limite thermique se développe autour de celui-ci. D'après la figure ci-dessous[1], on peut constater que l'épaisseur de la couche limite thermique autour du cylindre est une fonction de l'angle $\theta$.

Panache de convection et couche limite thermique autour d'un cylindre chauffé

 

Analyse du cas-test

 

Hypothèses et mécanismes prédominants

  • écoulement stationnaire
  • écoulement établi
  • écoulement monophasique, pas de phénomène d'évaporation ou de condensation lors du transfert
  • problème à deux dimensions x et y
  • invariance par translation suivant l'axe z
  • symétrie selon le plan (y0z)
  • convection prépondérante devant conduction et rayonnement
  • convection naturelle
  • hypothèse de Boussinesq  $\rho=\rho_0 [1-\beta(T-T_0)]$   avec   $\beta= - \frac{1} {\rho} \left (\frac{\partial \rho} {\partial T} \right)_{P=P_0} $ le coefficient de dilatation thermique

 

Échelles caractéristiques

  • le diamètre du cylindre est $L = 1  cm$

 

Détermination des nombres adimensionnels

  • nombre de Prandtl

$$Pr=\frac {\nu_{air}} {\alpha_{air}}=0,698$$

 

  • nombre de Rayleigh basé sur le diamètre D du cylindre

$$Ra_D=\frac{g \beta (T_P-T_{\infty})D^3} { \nu \alpha}=5,26.10^3$$

avec, en considérant l'air comme un gaz parfait :

$\beta=\frac {1} { \overline T}=\frac {2} {T_P + T_{\infty}} = 3,12.10^{-3} K^{-1}$

 

  • nombre de Nusselt : déterminé par la corrélation théorique

 

Corrélation théorique

Dans le cas de la convection naturelle autour d'un cylindre, la corrélation à vérifier lors de nos simulations numériques est la suivante (Churchill et Chu - 1975) :

                              $\overline {Nu_D}=  \left \{0,60 + \Large{\frac {0,387 Ra_D^{1/6}} { \left [1+ \left (\frac{0,559} {Pr} \right)^{9/16} \right ]^{8/27}}} \right \}^2$       pour       $Ra_D<10^{12}$

Dans nos analyses, nous tracerons donc le nombre de Nusselt en fonction du nombre de Rayleigh afin de comparer les résultats numériques d'OpenFOAM et StarCCM+ avec cette corrélation.