Czainski

L'indicateur de Czainski a été mis au point en 1993 par l'équipe de Czainski et al [2] afin de caractériser l'inhomogénéité d'une image en se basant sur un décompte des particules. Plus précisément on divise l'espace en mailles et on compte le nombre de particules par mailles. On peut ensuite comparer ce nombre à des valeurs de références et en déduire un "écart à l'homogénéité".

La méthode de Czainski consiste a mailler le domaine très finement (taille de cellule proche de celle d'une particule) puis à le binariser en indiquant dans chaque cellule un 1 s'il y a une particule et un 0 s'il n'y en a pas. On peut alors visualiser le domaine sous la forme d'un quadrillage dans lequel les cellules sont pondérées.

Czainski rappelle que dans cette approche un point essentiel est l'échelle à laquelle on souhaite caractériser l'inhomogénéité. En effet une fois le domaine maillé et pondéré par des 1 et des 0 on peut considérer une échelle plus grossière en regroupant des cellules par paquets et en additionnant les pondérations. On peut alors visualiser un domaine sous un certain maillage et observer quelque chose d'homogène (fig2.(e)) et observer cette image à une échelle inférieur et avoir plusieurs configuration possibles dont certaines inhomogènes (fig3.).

 

On voit alors que le choix du maillage va influencer les résultats et qu'il convient de choisir une échelle adaptée pour garder des résultats physiquement acceptables. Nous étudierons cette influence du maillage un peu plus loin.

En supposant que l'on ai trouvé un maillage adapté on peut alors calculer le degré d'inhomogénéité de Czainski µ selon la formule ci-dessous qui fait intervenir le nombre de cellules les plus petites n, le nombre de cellules à l'échelle choisie k et le nombre ni de particules par cellules à l'échelle k :

                                            

A partir du degré d'inhomogénéité on peut définir l'indicateur de Czainski h en divisant µ par son espérance :

                                                                   

Enfin pour évaluer l'écart-type à l'homogénéité parfaite et à une loi de Poisson le critère a été amélioré à l'aide du "sigma test" qui fait intervenir sigma :

                                                                

On obtient au final l'indicateur amélioré de Czainski H qui est celui qui sera utilisé par la suite :

                                                           

L'indicateur H a été construit de sorte à valoir 0 lorsque la distribution des gouttes dans les cellules suit une loi de probabilité de Poisson, est négatif à mesure que l'on tend vers l'homogénéité parfaite (ni est le même dans chaque cellule et vaut ni=n/k) et tend vers l'infiniment positif lorsque l'inhomogénéité s'intensifie. Czainski considère en effet l'eventualité d'une configuration "plus homogène" que la loi de Poisson.