Caractérisation des mobiles

L'agitation de fluides en cuves est une opération qui peut être relativement simple à réaliser mais toujours complexe à caractériser à cause de la nature des écoulements et de la complexité des systèmes cuve-agitateur. La caractérisation par des grandeurs globales moyennées dans le temps devient nécessaire afin de pouvoir quantifier les performances des systèmes et de les dimensionner ensuite.

Afin de déterminer les nombres adimensionnels caractérisant une cuve agitée, une analyse dimensionnelle est nécessaire.

 

La mise en mouvement d'un liquide en vue de son mélange avec un autre liquide, miscible ou non, ou bien en vue de la création d'une suspension solide, ou encore pour favoriser la dispersion d'une phase gazeuse demande de l'énergie.

 

 

Analyse adimensionelle

Les paramètres physiques qui entrent en jeu :

  1. N : la vitesse de rotation de l'agitateur en tours/seconde ; $[T^{-1}]$
  2. D : le diamètre de l'agitateur ; $[L]$
  3. $ \rho $ : la masse volumique du fluide ; $[ML^{-3}]$
  4. P : la puissance dissipée dans le fluide ; $[ML^2 T^{-3}]$
  5. g : l'accélération de la gravité ; $[LT^{-2}]$
  6. $ \mu $ : la viscosité dynamique du fluide ; $[ML^{-1} T^{-1}]$

On a donc : n = 6 avec n est le nombre de paramètres physiques.

Les unités fondamentales sont la masse [M], la longueur [L] et le temps [T]. On a donc p = 3 avec p est le nombre des unités fondamentales.

Selon le théorème de Vaschy-Buckingham, une équation impliquant six variables, exprimées à l'aide de trois dimensions, peut être réduite à une relation impliquant $ n-p = 6-3 = 3 $ termes sans dimensions et indépendants.

Pour un phénomène représenté par trois groupes adimensionnels, l'équation exprimant la relation entre les variables possède alors une solution de la forme :

\begin{equation}
f(\pi_1 , \pi_2, \pi_3) = 0
\end{equation}

On a trois groupes adimensionnels qui s'expriment comme ci-dessous :

\begin{equation}
\pi_1 = N^{x_1} D^{y_1} \rho^{z_1} P
\end{equation}

\begin{equation}
\pi_2 = N^{x_2} D^{y_2} \rho^{z_2} g
\end{equation}

\begin{equation}
\pi_3 = N^{x_3} D^{y_3} \rho^{z_3} \mu
\end{equation}

Pour que $ \pi $ reste adimensionnel, il faut que la somme des exposants de chaque grandeur fondamentale soit nulle. Pour l'équation (2):

\begin{equation}
0 = T^{x_1}  L^{y_1}  M^{z_1} L^{-3z_1}  ML^2 T^{-3}
\end{equation}

On trouve donc :

\begin{equation}
x_1=-3  ;  y_1=-5 ;  z_1=-1
\end{equation}

D'où l'expression du nombre adimensionnel :

$$ \pi_1= \frac {P} {\rho N^3 D^5} = N_p $$

$ N_p $ est appelé nombre de puissance.

Avec la même méthode, on trouve pour $ \pi_2 $ :

$$ \pi_2=\frac {g} {N^2 D}= \frac {1} {Fr}$$

$ Fr $ est appelé nombre de Froude, Fr.

Pour $ \pi_3 $, on a :

$$ \pi_3  =\frac {\mu} {\rho N D^2}= \frac {1} {Re} $$

$ Re $ est appelé nombre de Reynolds.

 

 

Nombre de Reynolds

Le nombre de Reynolds exprime le rapport des forces d'inertie sur les forces de viscosité. Si on a un nombre de Reynolds faible, c'est-à-dire que les forces de viscosité prédominent, l'écoulement est appelé laminaire. Un nombre de Reynolds élevé indique que les forces d'inertie prédominent dans l'écoulement, le régime est dit turbulent.

$$ R e  =\frac {\rho N D^2} {\mu} $$

 

 

Nombre de puissance

$ N_p $ est appelé nombre de puissance. Il caractérise l'énergie transmise au fluide par le système d'agitation, c'est-à-dire l'énergie adimensionnalisée dissipée dans le fluide.

$$ N_p = \frac {P} {\rho N^3 D^5} $$

Pour être un peu plus précis sur la définition de $ P $, $ P $ s'exprime en fonction de  $ P_a $ la puissance fourni à l'arbre pour tourner et $ P_0 $ la puissance à vide selon :

$$ P =  P_a - P_0 $$

Allure des courbes de puissance pour des différents mobiles ( Agitation. Mélange - Caractéristiques des mobiles d'agitation publié par Michael Rushton le 10/03/2005 )

A partir de données expérimentales, les courbes de puissance peuvent être établies. La courbe exprime la variation du nombre de puissance en fonction du nombre de Reynolds et tous les deux axes sont en coordonnées logarithmiques.

  1. Pour $ Re < 10 $, $ N_p $ dépend linéairement du nombre de Reynolds, Re. Dans cette zone, le régimeq est laminaire, le fluide de viscosité très élevée et le produit de $ N_p Re $ est égal à une constante qui est souvent notée A. Cette constante A est définie pour chaque ensemble agitateur-cuve.
  2. Pour $ Re > 10^4 $, le nombre de puissance est invariant avec Re. On est dans le régime tubulent, le fluide est peu visqueux. On peut aussi déduire que, dans un système données, le nombre de puissance est indépendant de la vitesse de rotation. Lorsque le système comporte des chicanes, le nombre de puissance est plus élevé parce qu'en effet, le rôle principal des chicanes est de casser l'écoulement tangentiel induit par la rotation. Elles transforment le mouvement tangentiel en un mouvement axial et c'est pour cela que l'on a une légère augmentation de la puissance consommée.
  3. Pour $ 10<Re<10^4 $, on est dans une zone de transition entre le régime laminaire et le régime turbulent.

 

Régime d'écoulement turbulent

Quelques valeurs du nombre de puissance en régime turbulent pour des différents types de mobiles.

Type de mobile Nombre de puissance $ N_p $
Ancre 0,2
Hélice 0,3 à 1
Turbines à pales inclinées 1,2 à 2
Turbine à disque type Rushton
Turbine à pale concave
4 à 5

Deux facteurs majeurs sont à l'origine d'une consommation énergétique élevé : la surface entre les pales et le fluide et le profil des pales. Par exemple, la turbine à disque type Rushton consomme beaucoup d'énergies parce qu'elle génère un mouvement intense qui crée un cisaillement très fort.

 

Régime d'écoulement laminaire

Comme annoncé précédemment, le nombre de puissance pour le régime laminaire s'écrit comme ci-dessous :

\begin{equation}
N_p Re=A =cste
\end{equation}

D'après l'analyse adimensionnelle, on peut aussi écrire la formule du nombre de puissance comme :

\begin{equation}
N_p= \frac {P} {\rho N^3 D^5}
\end{equation}

En reportant l'équation (7) dans l'expression (8), on obtient donc :

\begin{equation}
P= \frac {A} {Re} \rho N^3 D^5
\end{equation}

En remplaçant le nombre de Reynolds, l'expression se réduit à :

\begin{equation}
P=A \mu N^2 D^3
\end{equation}

 

 

Détermination du nombre de puissance

Numériquement, on peut déterminer le nombre de puissance par deux méthodes :

 

La première méthode :

L'hypothèse : On considère que toute la puissance du fluide est transmise au fluide. On peut déterminer la puissance comme :

\begin{equation}
P= \iiint\limits_V  \mu \phi_v \, dv
\end{equation}

avec $ \phi_v $ est le taux de dissipation visqueux et $v$ est le volume de la cuve. On peut donc définir le nombre de puissance comme ci-dessous :

\begin{equation}
 N_p= \frac {\iiint\limits_V  \mu \phi_v \, dv} {\rho N^3 D^5}
\end{equation}

pour un fluide newtonien avec

\begin{equation}
 \phi_v = [2 {\tau_{rr}} ^2+ 2 {\tau_{\theta \theta}} ^2 + 2 {\tau_{zz}} ^2 + {\tau_{rz}} ^2 + {\tau_{r\theta}} ^2 + {\tau_{z\theta}} ^2] / {\mu ^2}
\end{equation}

Les contraintes de cizaillement, $ \tau_{rr}, \tau_{r \theta}, \tau_{rz} $ sont données par :

\begin{equation}
\tau_{rr}= -2 \mu \frac {\partial U_r} {\partial r}
\end{equation}

\begin{equation}
\tau_{r \theta}= - \mu [ r \frac {\partial (U_{\theta}/r)} {\partial r} + {\frac {1} {r}} {\frac {\partial U_r} {\partial \theta}}]
\end{equation}

\begin{equation}
\tau_rz = - \mu [ \frac {\partial U_r} {\partial z}+\frac {\partial U_z} {\partial r}]
\end{equation}

 

La deuxième méthode :

La puissance peut aussi être déterminé par le calcul des efforts du fluide sur les pâles :

\begin{equation}
 P= \iint\limits_S  p \vec {n} . \vec {v} \, dS
\end{equation}

avec $ \vec {v} $ la vitesse de la pâle et $ \vec {n} $ est le normal à la paroi.

 

 

Nombre de Froude

Le nombre de Froude défini le rapport des forces d'inerties aux forces de pesanteur.

$$ Fr =\frac {N^2 D} {g}$$