Hypothèses

Un certain nombre d'hypothèses ont été faites pour simplifier le problème :

• gaz parfait
• gaz entrant composé exclusivement de dioxygène (une étude prenant en compte une injection d'air a aussi été réalisée par la suite)
• température en paroi constante
• réaction de combustion unique et complète (pas de sous-produit)

Modèles

Un certains nombre de modèles codés dans Neptune sont utilisés pour représenter le comportement des phases. Ces différents modèles sont résumés dans le tableau suivant.

Le modèle $k-\epsilon$

Au sein du lit fluidisé se développe des écoulements pleinement turbulents. C'est pourquoi le modèle de turbulence $k-\epsilon$ est utilisé. Ce modèle est basé sur l'écriture des vitesses dans les équations de Navier-Stokes comme la somme d'un écoulement moyen et d'un écoulement instantané: $u=\bar{U}+u'$ ainsi que sur l'hypothèse de Boussinesq: $R_{ij}=\mu_{t}\left( \frac{\partial U_{i}}{\partial x_{j}} + \frac{\partial U_{j}}{\partial x_{i}}\right)$.

La réécriture des équations permet de faire apparaître les équations suivantes:

\begin{equation} \frac{\partial k}{\partial t} + U_{k} \frac{ \partial k}{ \partial x_{k}} = \frac{\partial}{\partial x_{k}} \left[ \left( \nu+ \frac{C_{\mu}k^{2}}{\sigma_{k} \epsilon}\right) \frac{\partial k}{\partial x_{k}} \right] + \frac{C_{\mu}k^{2}}{\epsilon} \left( \frac{\partial U_{i}}{\partial x_{k}} + \frac{\partial U_{k}}{\partial x_{i}} \right) \frac{\partial{U_{i}}}{{\partial x_{k}}} - \epsilon\end{equation}

\begin{equation} \frac{\partial \epsilon}{\partial t} + U_{k} \frac{ \partial \epsilon}{ \partial x_{k}} = \frac{\partial}{\partial x_{k}} \left[ \left( \nu+ \frac{C_{\mu}k^{2}}{\sigma_{\epsilon} \epsilon}\right) \frac{\partial \epsilon}{\partial x_{k}} \right] + C_{\epsilon_{1}} C_{_\mu} k \left( \frac{\partial U_{i}}{\partial x_{k}} + \frac{\partial U_{k}}{\partial x_{i}} \right) \frac{\partial{U_{i}}}{{\partial x_{k}}} - C_{\epsilon_{2}} \frac{\epsilon^2}{k}\end{equation}

Les constantes de ce modèle sont répertoriées dans le tableau suivant:

Le modèle q2-q12

Le modèle $q_{2}-q_{12}$ est un modèle à 2 équations, l'une sur l'agitation des particules $q_{2}^2=1/2 <u_{2,i}'u_{2,i}'>_{2}$ et l'autre sur le transport de la covariance $q_{12}=\overline{u_{1,i}'u_{2,j}'}$

Ce modèle prend en compte les transfert interfaciaux via la loi de traînée (cf § suivant) ainsi que les collisions à travers un temps de collision $\tau_{p}^{c}$. Le tenseur des contraintes particulaire $\Sigma_{p,ij}$ est modélisé à travers d'une viscosité particulaire comprenant 2 contributions (cinétique et collisions) $\mu_{p} = \alpha_{p} \rho_{p} \left( \nu_{p}^{kin}+\nu_{p}^{col} \right) $

Le modèle est adapté pour des écoulements gaz-particules avec $\rho_{p}\gg \rho_{g}$

Les lois de trainées Wen & Yu Ergun

La force de trainée s'oppose au mouvement de la particule: $F_{D}=-\frac{\alpha_{p} \rho_{p}}{\tau_{fp}^{F}} V_{r,i}~\mathrm{avec}~\frac{1}{\tau_{fp}^{F}}=\frac{3 \rho_{g} <V_{r}>}{4 \rho_{p} d_{p}} C_{D}$

Dans le logiciel, la loi de traînée est modélisée à l'aide de la relation de Wen & Yu - Ergun:

\begin{equation} C_{D}=\left\{ \begin{array}{ll} C_{D,wy} & \mathrm{si}~\alpha_{p}\le 0,3 \\ \mathrm{min}[C_{D,wy};C_{D,erg}]& \mathrm{sinon} \end{array} \right. \end{equation}

Dans cette équation:

\begin{equation} C_{D,erg}=200\frac{\alpha_{p}}{Re_{p}}+\frac{7}{3} \end{equation}

\begin{equation} C_{D,wy}=\left\{ \begin{array}{ll} C_{D,wy}=\frac{24}{Re_{p}} \left( 1+ 0.15 Re_{p}^{0.687}\right) \alpha_{p}^{-1.7}& \mathrm{si}~Re_{p} < 1000 \\ C_{D,wy}=0.44\alpha_{p}^{-1.7}& \mathrm{sinon} \end{array} \right. \end{equation}