Hypothèses et modèles

Hypothèses

Un certain nombre d'hypothèses ont été faites pour simplifier le problème :

  • gaz parfait
  • gaz entrant composé exclusivement de dioxygène (une étude prenant en compte une injection d'air a aussi été réalisée par la suite)
  • température en paroi constante
  • réaction de combustion unique et complète (pas de sous-produit)

Modèles

Un certains nombre de modèles codés dans Neptune sont utilisés pour représenter le comportement des phases. Ces différents modèles sont résumés dans le tableau suivant.

 

gas olivine char
turbulence model k- epsilon q2-q12 q2-q12
turbulence reverse coupling   small inclusions small inclusions
particles interactions : friction   fluxes fluxes
particles interactions   granulometrie   fluxes fluxes
particles interactions : kinetic   uncorellated collisions uncorellated collisions

polydisperse model

  activated activated
wall boundary condition   no slip no slip
drag law   Wen&Yu Ergun Wen&Yu Ergun

Le modèle $k-\epsilon$

Au sein du lit fluidisé se développe des écoulements pleinement turbulents. C'est pourquoi le modèle de turbulence $k-\epsilon$ est utilisé. Ce modèle est basé sur l'écriture des vitesses dans les équations de Navier-Stokes comme la somme d'un écoulement moyen et d'un écoulement instantané: $u=\bar{U}+u'$ ainsi que sur l'hypothèse de Boussinesq: $R_{ij}=\mu_{t}\left( \frac{\partial U_{i}}{\partial x_{j}} + \frac{\partial U_{j}}{\partial x_{i}}\right)$.

La réécriture des équations permet de faire apparaître les équations suivantes:

\begin{equation} \frac{\partial k}{\partial t} + U_{k} \frac{ \partial k}{ \partial x_{k}} = \frac{\partial}{\partial x_{k}} \left[ \left( \nu+ \frac{C_{\mu}k^{2}}{\sigma_{k} \epsilon}\right) \frac{\partial k}{\partial x_{k}} \right] + \frac{C_{\mu}k^{2}}{\epsilon} \left( \frac{\partial U_{i}}{\partial x_{k}} + \frac{\partial U_{k}}{\partial x_{i}} \right) \frac{\partial{U_{i}}}{{\partial x_{k}}} - \epsilon\end{equation}

\begin{equation} \frac{\partial \epsilon}{\partial t} + U_{k} \frac{ \partial \epsilon}{ \partial x_{k}} = \frac{\partial}{\partial x_{k}} \left[ \left( \nu+ \frac{C_{\mu}k^{2}}{\sigma_{\epsilon} \epsilon}\right) \frac{\partial \epsilon}{\partial x_{k}} \right] + C_{\epsilon_{1}} C_{_\mu} k \left( \frac{\partial U_{i}}{\partial x_{k}} + \frac{\partial U_{k}}{\partial x_{i}} \right) \frac{\partial{U_{i}}}{{\partial x_{k}}} - C_{\epsilon_{2}} \frac{\epsilon^2}{k}\end{equation}

Les constantes de ce modèle sont répertoriées dans le tableau suivant:

$C_{\mu}$ $\sigma_{\epsilon}$ $\sigma_{k}$ $C_{\epsilon_{1}}$ $C_{\epsilon_{2}}$
$0.09$ $1.22$ $1$ $1.44$ $1.92$

Le modèle q2-q12

Le modèle $q_{2}-q_{12}$ est un modèle à 2 équations, l'une sur l'agitation des particules $q_{2}^2=1/2 <u_{2,i}'u_{2,i}'>_{2}$ et l'autre sur le transport de la covariance $q_{12}=\overline{u_{1,i}'u_{2,j}'}$

Ce modèle prend en compte les transfert interfaciaux via la loi de traînée (cf § suivant) ainsi que les collisions à travers un temps de collision $\tau_{p}^{c}$. Le tenseur des contraintes particulaire $\Sigma_{p,ij}$ est modélisé à travers d'une viscosité particulaire comprenant 2 contributions (cinétique et collisions) $\mu_{p} = \alpha_{p} \rho_{p} \left( \nu_{p}^{kin}+\nu_{p}^{col} \right) $

Le modèle est adapté pour des écoulements gaz-particules avec $\rho_{p}\gg \rho_{g}$

Les lois de trainées Wen & Yu Ergun

La force de trainée s'oppose au mouvement de la particule: $F_{D}=-\frac{\alpha_{p} \rho_{p}}{\tau_{fp}^{F}} V_{r,i}~\mathrm{avec}~\frac{1}{\tau_{fp}^{F}}=\frac{3 \rho_{g} <V_{r}>}{4 \rho_{p} d_{p}} C_{D}$

Dans le logiciel, la loi de traînée est modélisée à l'aide de la relation de Wen & Yu - Ergun:

\begin{equation} C_{D}=\left\{ \begin{array}{ll} C_{D,wy} & \mathrm{si}~\alpha_{p}\le 0,3 \\ \mathrm{min}[C_{D,wy};C_{D,erg}]& \mathrm{sinon} \end{array} \right. \end{equation}

Dans cette équation:

\begin{equation} C_{D,erg}=200\frac{\alpha_{p}}{Re_{p}}+\frac{7}{3} \end{equation}

\begin{equation} C_{D,wy}=\left\{ \begin{array}{ll} C_{D,wy}=\frac{24}{Re_{p}} \left( 1+ 0.15 Re_{p}^{0.687}\right) \alpha_{p}^{-1.7}& \mathrm{si}~Re_{p} < 1000 \\ C_{D,wy}=0.44\alpha_{p}^{-1.7}& \mathrm{sinon} \end{array} \right. \end{equation}