Etude des débits à Harchechamp

Estimation des débits à Harchechamp

a) Estimation des débits à Harchechamp à partir des données à Soulosse.

Deux jeux de données vont être utilisés pour mener a bien notre projet :

  • les hauteurs d'eau à Soulosse sur 5 événements de crue ( janvier 1995, mars 1999, décembre 2011, octobre 2006 et décembre 2011) fournies par Génivar.
  • les débits journaliers moyens à Soulosse téléchargés du site de la banque hydro.

    Notre étude se portant sur la ville d'Harchechamp, il est nécessaire d'estimer les débits au niveau de cette ville à partir de ceux connus à Soulosse.

    Pour passer des hauteurs d'eau aux débits équivalents à Soulosse, la courbe de tarage présentée sur la figure 1.11 va être utilisée.

Figure 1.11 : Courbe de tarage à Soulosse

    Par la suite, la méthode de Myer va permettre d'estimer les débits à Harchechamp en fonction de ceux à Soulosse. D'après cette méthode, la relation entre les débits est la suivante :

$ Q_0=Q_1 \times \left( \frac {S_0}{S_1} \right) ^\alpha  $

avec $Q_0$ et $Q_1$ les débits respectivement à Soulosse et Harchechamp et $S_0$ et $S_1$ les surfaces respectives des bassins versants de Soulosse et d'Harchechamp.

    Le coefficient régional $\alpha$ peut varier entre 0.5 et 1 suivant les pays, le climat et les configurations du sol. Selon la plupart des études hydrologiques françaises, la valeur 0.72 est la plus pertinente. Une valeur de $\alpha $ de 1 caractérise un bassin verssant "idéal" i.e. symétrique/allongé (conservation du débit spécifique et écoulement uniformément réparti) tandis que $\alpha =0.5$ serait plutôt pour un bassin versant de forme circulaire avec un écoulement très hétérogène.

    Il semblerait néanmoins que les valeurs $\alpha=0.8$ ou $ \alpha=0.9$ aient été utilisées de manière satisfaisante pour des modèles hydrologiques de Génivar.

    Ainsi, dans toute notre étude, le coefficient retenu est $\fbox { $\alpha=0.8$} $

b) Présentation des débits mensuels moyens à Harchechamp

    Nous disposons des débits mensuels moyens à la station de jaugeage de Soulosse pendant une période de 44 ans (entre 1969 et 2012). En utilisant la méthode précédemment expliquée, nous pouvons en déduire les débits mensuels moyens à Harchechamp. En moyennant par mois les débits moyens sur une période de 44 ans, nous obtenons l'hydrogramme de la figure 1.12.

 taille reelle
Figure 1.12 : Débits moyens mensuels (Qmm) à Harchechamp entre 1969 et 2012

    Cet hydrogramme permet de présenter les mois de plus fort débit dans l'année (qui correspondent aux mois de la saison hivernale).

    Les plus importantes crues observées à Harchechamp se sont principalement produites pendant les mois de janvier et décembre, ce qui est cohérent avec l'hydrogramme de la Figure 1.12.

c) Temps de propagation d'une crue entre Harchechamp et Soulosse.

    Pour déterminer l'heure de pic de crue à Harchechamp connaissant l'heure du même pic à Soulosse, plusieurs hydrogrammes de crues à Belmont-sur-Vair  et Soulosse, provenant de plusieurs évenements, seront exploités.

    Les figures 1.13 et 1.14 montrent les évolutions temporelles des lignes d'eau lors des crues respectives de 2001 et 2011.

    Sur la figure 1.13, un intervalle de 10h est présent entre le pic de crue à Belmont-sur-Vair et Soulosse alors qu'un intervalle de 12h est observable sur la figure 1.14.

    Entre ces deux villes, le Vair parcourt une distance d'environ 37km. Entre Soulosse et Harchéchamp, le Vair ne coule que sur 11km. Ainsi, pendant l'évènement de 2001, la crue était apparue environ 3h plus tôt à Harchéchamp par rapport à Soulosse et pendant l'évènement de 2011, elle était apparue 3h30 plus tôt.

    Ce temps de propagation de la crue entre Harchechamp et Soulosse va servir lors de l'ajustement des débits à Harchechamp pour la modélisation hydrologique ainsi qu'au Binôme n°3 pour leur modélisation hydraulique.

Figure 1.13 : lignes d'eau lors de la crue d'octobre 2001 à Soulosse et Belmont-sur-Vair

Figure 1.14 : lignes d'eau lors de la crue de décembre 2011 à Soulosse et Belmont-sur-Vair

d) Débits classés pendant la période de migration piscicole

    La période délimitée par le binôme n°2 pour la migration des poissons présents dans le Vair se situe entre le 15 mars et le 30 juin. Dans le but d'obtenir le graphe des débits classés (figure 1.15) enter ces deux datesentre 1969 et 2012, il fut nécessaire de télécharger les débits journaliers moyens à Soulosse (à partir site de la banque hydro) et de les estimer à Harchéchamp. En classant ces débits estimés, la figure 1.15 a pu être obtenue.

Figure 1.15 : Débits classés à Harchechamp entre le 15 mars et le 30 juin sur 44 ans

 

 

Estimation des débits de crues de projet

    Les crues de projet à estimer sont les crues de période de retour dix, vingt-cinq, cinquante, soixante-quinze et cent ans. Elles sont notées respectivement $Q_{10}$, $Q_{25}$, $Q_{50}$, etc. Ces débits servent principalement au binôme 3 pour leur étude hydraulique.

a) Analyse fréquentielle des débits

    Dans le but de calculer les crues de projet à Harchechamp, il est nécessaire au préalable d'obtenir le débit journalier  maximum de chaque année à Soulosse (entre les années 1969 et 2012). Ces débits à Soulosse ont été téléchargés sur le site internet de la Banque Hydro. Ces maxima sont présentés dans le tableau 1.3.

Tableau 1.3 : Maxima de débits annuels, station limnimétrique de Soulosse

    Ces débits sont ensuite estimés à Harchechamp grâce à la formule de Myer présentée précédemment. Dans toute la suite, l'analyse statistique porte sur les débits à Harchechamp.

    La loi de Gumbel va être utilisée pour décrire le comportement statistique des valeurs extrêmes. La fonction de répartition de cette loi s'exprime comme suit :

$ F_{Gumbel} = exp(-exp(-\frac{x-a}{b})) $

avec $ u =\frac{x-a}{b} $ la variable réduite de la fonction de répartition et $a$ et $b$ des paramètres du modèle de Gumbel.

$u$ a ainsi pour expression $u=-ln(-ln(F_{Gumbel})) $.

    Il est nécessaire maintenant d'ajuster la loi de probabilité de Gumbel sur la série de donnée que nous disposons. Dans ce but, les débits vont être classés par ordre croissant et la fréquence empirique d'Hazen va être utilisée. La fonction de répartition de cette fréquence empirique s'exprime comme suit :

$ F_{Hazen} =  \frac{r-0.5}{n} $

avec $r$ le rang dans la série de données classée par valeurs croissantes et $n$ la taille de l'échantillon.

    Les paramètres $a$ et $b$ vont être déterminés de deux façons : par méthode graphique et par la méthode des moments. Ces deux méthodes seront finalement comparées et une seule sera choisie pour présenter les résultats.

a.1 Méthode d'ajustement graphique

    Notons $x_i$ les débits de pointe classés. Dans le but d'ajuster graphiquement la loi de Gumbel, la fréquence d'Hazen va être exploitée pour déterminer les $u_i$ correspondant aux $x_i$. Ensuite, une droite va être ajustée graphiquement sur le graphe des couples ($x_i$,$u_i$).

Cette droite a pour expression : $x_i = u_i . b + a$         

    Ainsi, les coefficients $a$ et $b$ peuvent être déterminés. La figure 1.16 représente les couples ($x_i$,$u_i$) et la droite ajustée.               

Figure 1.16 : ajustement graphique de la loi de Gumbel sur les données de débit

    Les coefficients de la droite ajustée sur la série de débit ont pour valeur : $\fbox{a=20,6}$ m3/s  et $\fbox{b=47,8}$ m3/s.

b.2 Ajustement par la méthode des moments

    D'après cette méthode, les paramètres $a$ et $b$ sont exprimés en fonction de la moyenne et de l'espérance de la série de données. Pour cela, les moments échantillonaux et les moments théoriques de la loi choisie doivent être égalés.

Soient $\hat{\mu}$ et $\hat{\sigma}$ les estimateurs standards de la moyenne et de la variance définies par :

$\hat{\mu} = \frac{1}{n} \sum_{\substack{1 \leq i \leq n}} x_i $    et    $\hat{\sigma} = \frac{1}{n-1} \sum_{\substack{1 \leq i \leq n}} \left( x_i -\hat{\mu} \right) ^2$.

    Les deux premiers moments théoriques de la loi de Gumbel s'expriment par:

$\mu = a+b. \gamma$    et    $\sigma^2=  \frac{\pi^2}{6} b^2$

avec $\gamma=0.5772$ la constante d'Euler.

    Finalement les paramètres $a$ et $b$ peuvent être déduits et ont pour expression:

$\underline{ b= \frac{\sqrt{6}}{\pi} .\sigma}$    et    $\underline{a=\mu -b.\gamma}$

    Le tableau 1.4 récapitule les résultats obtenus par la méthode des moments sur les débits à Harchechamp.

$\mu$

59,56 m3/s

$\sigma$

26,57 m3/s

$a$

20,8 m3/s

$b$

47,60 m3/s

Tableau 1.4 : Présentation des résultats de l'ajustement par la méthode des moments.

    Dans la suite, seuls les paramètres trouvés par la méthode des moments seront utilisés.

    La figure 1.17 représente la loi de Gumbel ajustée sur la série de données à Harchechamp ordonnée en ordre croissant.                 

   

Figure 1.17 : graphe de la fonction de Gumbel et de la fonction de Hazen.

    Les crues de fréquence de retour $T$ ont pour fréquence d'apparition : $F=1 - 1/T$.

    Ainsi, pour une crue décennale, donc de temps de retour 10 ans, la fréquence d'apparition sera égale à 0.9.

    D'après la loi de Gumbel, les valeurs des crues de projet ont pu être évaluées et sont classées dans le tableau 1.5. Les débits sont donnés avec leur intervalle de confiance à 95%, i.e. qu'il y a 95% de chance que la valeur exacte soit comprise entre ces extrema.

 

Crue de période de retour : Débit (m3/s)
10 ans 94 [81,119]
25 ans 114 [96, 147]
50 ans 129 [108,168]
75 ans 137 [114, 180]
100 ans 143 [119, 189]

Tableau 1.5 : présentation des crues de projet.

    Pour calculer l'erreur-type d'un quantile, la méthode développée par le CTGREF (Centre national d'études techinques et de recherches technologiques pour l'agriculture, les forêts et l'équipement rural) en 1978 va être mise en application. Ainsi, l'intervalle de confiance pour la loi de Gumbel est donnée par les relations suivantes :

$ T_{1,2} = \frac { \frac {z_{ 1-\alpha /2 }}{ \sqrt{n} } \sqrt{1+1.1396  K_q + 1.1 K_q^2 } \pm \frac {z_{1-\alpha / 2}^2 }{n} (1.1 K_q +0.5772)} { 1-\frac {1.1 z_{1-\alpha /2} ^2}{n}} $

avec $z_{1-\alpha /2} $ le quantile de la variable normale centrée réduite correspondant au niveau $1- \alpha$ choisi pour l'intervalle de confiance et $K_q$ le facteur de fréquence pour la loi de Gumbel, correspondant au temps de retour choisi:

$K_q =0.7797 (u_q-0.5772)$

avec $u_q$ la variable réduite de la loi de Gumbel.

   Finalement, l'intervalle de confiance est défini par:

$Pr(\hat{x_q} - T_2.s < X_q < \hat{x_q} + T_1.s) = 1- \alpha $

    D'après cette formule, l'intervalle de confiance d'un quantile est asymétrique.