Estimation des débits de crues de projet

    Les crues de projet à estimer sont les crues de période de retour dix, vingt-cinq, cinquante, soixante-quinze et cent ans. Elles sont notées respectivement $Q_{10}$, $Q_{25}$, $Q_{50}$, etc. Ces débits servent principalement au binôme 3 pour leur étude hydraulique.

a) Analyse fréquentielle des débits

    Dans le but de calculer les crues de projet à Harchechamp, il est nécessaire au préalable d'obtenir le débit journalier  maximum de chaque année à Soulosse (entre les années 1969 et 2012). Ces débits à Soulosse ont été téléchargés sur le site internet de la Banque Hydro. Ces maxima sont présentés dans le tableau 1.3.

Tableau 1.3 : Maxima de débits annuels, station limnimétrique de Soulosse

    Ces débits sont ensuite estimés à Harchechamp grâce à la formule de Myer présentée précédemment. Dans toute la suite, l'analyse statistique porte sur les débits à Harchechamp.

    La loi de Gumbel va être utilisée pour décrire le comportement statistique des valeurs extrêmes. La fonction de répartition de cette loi s'exprime comme suit :

$ F_{Gumbel} = exp(-exp(-\frac{x-a}{b})) $

avec $ u =\frac{x-a}{b} $ la variable réduite de la fonction de répartition et $a$ et $b$ des paramètres du modèle de Gumbel.

$u$ a ainsi pour expression $u=-ln(-ln(F_{Gumbel})) $.

    Il est nécessaire maintenant d'ajuster la loi de probabilité de Gumbel sur la série de donnée que nous disposons. Dans ce but, les débits vont être classés par ordre croissant et la fréquence empirique d'Hazen va être utilisée. La fonction de répartition de cette fréquence empirique s'exprime comme suit :

$ F_{Hazen} =  \frac{r-0.5}{n} $

avec $r$ le rang dans la série de données classée par valeurs croissantes et $n$ la taille de l'échantillon.

    Les paramètres $a$ et $b$ vont être déterminés de deux façons : par méthode graphique et par la méthode des moments. Ces deux méthodes seront finalement comparées et une seule sera choisie pour présenter les résultats.

a.1 Méthode d'ajustement graphique

    Notons $x_i$ les débits de pointe classés. Dans le but d'ajuster graphiquement la loi de Gumbel, la fréquence d'Hazen va être exploitée pour déterminer les $u_i$ correspondant aux $x_i$. Ensuite, une droite va être ajustée graphiquement sur le graphe des couples ($x_i$,$u_i$).

Cette droite a pour expression : $x_i = u_i . b + a$         

    Ainsi, les coefficients $a$ et $b$ peuvent être déterminés. La figure 1.16 représente les couples ($x_i$,$u_i$) et la droite ajustée.               

Figure 1.16 : ajustement graphique de la loi de Gumbel sur les données de débit

    Les coefficients de la droite ajustée sur la série de débit ont pour valeur : $\fbox{a=20,6}$ m3/s  et $\fbox{b=47,8}$ m3/s.

b.2 Ajustement par la méthode des moments

    D'après cette méthode, les paramètres $a$ et $b$ sont exprimés en fonction de la moyenne et de l'espérance de la série de données. Pour cela, les moments échantillonaux et les moments théoriques de la loi choisie doivent être égalés.

Soient $\hat{\mu}$ et $\hat{\sigma}$ les estimateurs standards de la moyenne et de la variance définies par :

$\hat{\mu} = \frac{1}{n} \sum_{\substack{1 \leq i \leq n}} x_i $    et    $\hat{\sigma} = \frac{1}{n-1} \sum_{\substack{1 \leq i \leq n}} \left( x_i -\hat{\mu} \right) ^2$.

    Les deux premiers moments théoriques de la loi de Gumbel s'expriment par:

$\mu = a+b. \gamma$    et    $\sigma^2=  \frac{\pi^2}{6} b^2$

avec $\gamma=0.5772$ la constante d'Euler.

    Finalement les paramètres $a$ et $b$ peuvent être déduits et ont pour expression:

$\underline{ b= \frac{\sqrt{6}}{\pi} .\sigma}$    et    $\underline{a=\mu -b.\gamma}$

    Le tableau 1.4 récapitule les résultats obtenus par la méthode des moments sur les débits à Harchechamp.

$\mu$

59,56 m3/s

$\sigma$

26,57 m3/s

$a$

20,8 m3/s

$b$

47,60 m3/s

Tableau 1.4 : Présentation des résultats de l'ajustement par la méthode des moments.

    Dans la suite, seuls les paramètres trouvés par la méthode des moments seront utilisés.

    La figure 1.17 représente la loi de Gumbel ajustée sur la série de données à Harchechamp ordonnée en ordre croissant.                 

   

Figure 1.17 : graphe de la fonction de Gumbel et de la fonction de Hazen.

    Les crues de fréquence de retour $T$ ont pour fréquence d'apparition : $F=1 - 1/T$.

    Ainsi, pour une crue décennale, donc de temps de retour 10 ans, la fréquence d'apparition sera égale à 0.9.

    D'après la loi de Gumbel, les valeurs des crues de projet ont pu être évaluées et sont classées dans le tableau 1.5. Les débits sont donnés avec leur intervalle de confiance à 95%, i.e. qu'il y a 95% de chance que la valeur exacte soit comprise entre ces extrema.

 

Crue de période de retour : Débit (m3/s)
10 ans 94 [81,119]
25 ans 114 [96, 147]
50 ans 129 [108,168]
75 ans 137 [114, 180]
100 ans 143 [119, 189]

Tableau 1.5 : présentation des crues de projet.

    Pour calculer l'erreur-type d'un quantile, la méthode développée par le CTGREF (Centre national d'études techinques et de recherches technologiques pour l'agriculture, les forêts et l'équipement rural) en 1978 va être mise en application. Ainsi, l'intervalle de confiance pour la loi de Gumbel est donnée par les relations suivantes :

$ T_{1,2} = \frac { \frac {z_{ 1-\alpha /2 }}{ \sqrt{n} } \sqrt{1+1.1396  K_q + 1.1 K_q^2 } \pm \frac {z_{1-\alpha / 2}^2 }{n} (1.1 K_q +0.5772)} { 1-\frac {1.1 z_{1-\alpha /2} ^2}{n}} $

avec $z_{1-\alpha /2} $ le quantile de la variable normale centrée réduite correspondant au niveau $1- \alpha$ choisi pour l'intervalle de confiance et $K_q$ le facteur de fréquence pour la loi de Gumbel, correspondant au temps de retour choisi:

$K_q =0.7797 (u_q-0.5772)$

avec $u_q$ la variable réduite de la loi de Gumbel.

   Finalement, l'intervalle de confiance est défini par:

$Pr(\hat{x_q} - T_2.s < X_q < \hat{x_q} + T_1.s) = 1- \alpha $

    D'après cette formule, l'intervalle de confiance d'un quantile est asymétrique.