2. Calculs de dimensionnement


    Cette partie a pour but de déterminer les actions hydrauliques exercées sur l'ouvrage ainsi que leurs réponses structurelles. Pour cela, nous allons nous aider du Rock Manual qui présente de nombreuses formules empiriques fondées sur des expériences réelles, en laboratoire ainsi que sur l'expérience professionnelle de certains constructeurs de digues maritimes. Il faut donc avoir conscience que le dimensionnement présenté ci-dessous comporte des incertitudes.

    Dans un premier temps, nous avons recueilli les données de houles mesurées dans la zone étudiée ainsi que la bathymétrie. Ces données nous permettent d'évaluer correctement la houle arrivant sur l'ouvrage, et ainsi limiter les incertitudes. Les simulations faites au préalable à l'aide du logiciel Artémis sont également un bon outil de prédiction et nous permettent d'avoir des données là où la mesure n'est pas effectuée, par exemple durant la tempête de 1982.

    Les digues en enrochements sont fortement confrontées aux actions induites par la houle. Il faut donc les évaluer pour assurer la durabilité de l'ouvrage.

2.1 Etudes préliminaires


1. Interactions hydrauliques entre la houle et l'ouvrage
2. Recensement des paramètres à dimensionner
3. Estimation du Run-Up/Run-down
4. Estimation du Franchissement
5. Estimation de la transmission de la houle
6. Estimation de la réflexion

 

1. Interactions hydrauliques entre la houle et l'ouvrage

    Lorsque la houle rencontre l'ouvrage de nombreux phénomènes se produisent du fait de leurs interactions.
Voici les principaux :


  • le Run-up et le Run-down

    Lorsque la vague arrive au contact de l'ouvrage, celle-ci va s'étendre verticalement ce qui va augmenter la surface libre par rapport à la houle incidente. La houle vient alors déferler sur l'ouvrage ce qui va entraîner une remontée de l'eau sur ce dernier : les niveaux maximum et minimum de remontée sont appelés respectivement Run-up et Run-down.

    La connaissance de ces deux paramètres est importante pour le dimensionnement de la crête de l'ouvrage : limite supérieure de l'ouvrage définissant le degré de protection contre la houle.


  • Le franchissement

    Il correspond au moment où la houle franchit l'ouvrage, c'est-à-dire lorsque le Run-up dépasse le niveau de la crête de l'ouvrage. En général, les digues sont dimensionnées pour qu'une faible portion de vagues puissent franchir l'ouvrage (vagues rares). Un franchissement autorisé est défini par conséquent en fonction du rôle et de la performance que l'ouvrage devra remplir. Il est préférable d'imposer des critères de tolérance (débits de franchissement limite) de franchissement que de sur-dimensionner l'ouvrage pour cause économique.

    Le franchissement est donc lui aussi un critère de dimensionnement du niveau et de la géométrie de la section de la crête de l'ouvrage.


  • La transmission

    Lorsque le niveau de la crête est peu élevé par rapport au niveau d'eau au repos, l'ouvrage peut subir la transmission. La houle franchit aisément l'ouvrage et donne naissance directement à l'arrière de l'ouvrage à une houle transmise.

    La transmission de la houle peut également survenir lorsque l'ouvrage est fortement poreux. Dans ce cas, la houle pénètre à travers l'ouvrage et transmet son énergie à une nouvelle houle dite transmise à l'arrière de l'ouvrage.

    Parfois les deux modes de transmission sont réunis.

   Il est important de quantifier cette transmission qui peut être responsable d'une augmentation de l'agitation portuaire.


  • La réflexion

    Lorsqu'une houle arrive sur une surface, celle-ci peut être absorbée en partie ou être réfléchie.

   Chaque surface possède son propre coefficient de réflexion. Il est préférable dans un port que les surfaces comportent des coefficients de réflexion inférieurs à 1, dans le but de dissiper une partie de l'énergie de la houle et d'éviter de gêner les bateaux. En revanche, ce n'est pas toujours le cas car beaucoup d'aménagements (quais) sont constitués de béton (très lisse) ce qui peut entraîner des phénomènes de réflexion et parfois même de résonance pour certaines périodes. La résonance va accroître l'amplitude des pics de la houle et peut causer des perturbations conséquentes au sein du port (Voir : Propagation des ondes dans la nouvelle géométrie).

 


2. Recensement des paramètres à dimensionner

    Voici un schéma récapitulatif d'une digue à talus en enrochements :

(Source : Rock Manual)

Avec :

  • $ R_c $ : la revanche de la crête
  • $ B $ : la largeur de la crête
  • $ B_{noyau} $ : la largeur du noyau
  • $ B_t $ : la largeur de la butée
  • $ h_t $ : la hauteur de la butée
  • $ t_a $ : l'épaisseur de la carapace
  • $ t_u $ : l'épaisseur la sous-couche
  • $ \alpha $ : angle du talus côté mer

      Tous ces paramètres devront être dimensionnés en fonction de la performance hydraulique. Pour cela, des paramètres dimensionnants vont être fixés.

  • La hauteur significative de la houle : $ H_s $
  • La période moyenne de houle : $ T_m $
  • L'angle d'incidence de la houle par rapport à l'ouvrage : $ \beta $ (en degré)
  • La hauteur d'eau local : $ h $

 

3. Estimation du Run-Up/Run-down

      Tout d'abord, on définit le Run-up de manière verticale par rapport au niveau d'eau au repos (positif s'il dépasse le niveau d'eau).

    La houle, dans la réalité, arrive de manière irrégulière sur la surface de l'ouvrage, cela va entraîner une distribution de Run-up. C'est pourquoi, en général un Run-up $ R_{un\%} $  est défini tel que sa valeur est dépassée par n% des vagues.

     La formule de détermination du Run-up est principalement fonction du paramètre de déferlement $\xi$ (ou nombre d'Iribarren) ainsi que de la hauteur de houle significative. Ce dernier permet de décrire précisément l'action de la houle arrivant sur l'ouvrage et par conséquent de mieux appréhender ses effets. Voici son expression :

$$ \xi = \frac{\tan(\alpha)}{\sqrt{s_0}} $$

Avec :

  •  $ s_0 = \frac {H} {L_0} = \frac{2\pi} {g} \frac{H}{T^2} $ : la cambrure nominale de la houle
  •  $ L_0 $ : la longueur d'onde au large (m)
  •  $ H $ : la hauteur de houle locale (m)
  •  $ \alpha $ : l'angle du talus côté mer

     Nous choisissons de fixer la pente du talus côté mer à 3/2. En effet, notre but est d'assurer à la fois une stabilité de l'ouvrage mais aussi de limiter le volume d'enrochements et de matières premières lors de sa construction pour des raisons économiques.
    Une pente de 4/3 équivaut à la pente optimale pour assurer ces deux conditions. En revanche, en pratique, cette dernière est souvent trop élevée pour être utilisée. Nous choisissons donc après plusieurs essais de retenir une pente de 3/2 c'est-à-dire par définition une pente de 3 unités de largeur pour 2 unités de hauteur.

     Une fois le paramètre $\xi$ déterminé, l'évaluation du type de déferlement peut être réalisée. Nous sommes à la limite du déferlement frontal ou gonflant et du déferlement non existant ( $\xi = 7$).

     Nous dimensionnons le contre-épi en nous basant sur la tempête de 1982, qui possède un temps de retour 50 ans. Il faut donc faire attention à ne pas sur-dimensionner l'ouvrage et laisser des critères d'acceptation de dommages.  Après une simulation Artémis, nous avons relevé que la hauteur maximale significative arrivant sur le contre-épi était de $H_s = 1.5 m$ pour le cas le plus catastrophique. Ces hauteurs de vagues sont assez rares, nous allons donc employer le $ R_{u20\%} $ pour éviter le surdimensionnement : 20% des vagues pourrons dépasser le contre-épi en cas de tempête ce qui équivaut à une probabilité de franchissement de 0.2.

     De plus, il est important de garder à l'esprit que le contre-épi se situe dans l'avant port et qu'une partie des vagues destructrices a été déjà dissipée par les digues de l'avant-port. Ce cas pour lequel $H_s = 1.5 m $ est donc qualifié de rare. En posant une restriction sur ce critère de dépassement, par exemple en optant pour un $ R_{u2\%} $, nous arrivons a des valeurs trop élevées du Run-up. Ceci entraînerait une augmentation considérable de la crête de l'ouvrage et gênerait fortement la visibilité des bateaux. Nous choisissons donc comme compromis d'évaluer la hauteur de crête avec un $ R_{u20\%} $ lors d'une tempête de retour 50ans.

     La formule ci-dessous est préconisée pour calculer le Run-up par le CERC et le LNH dans le cas d'une houle irrégulière : (Source : scs-ingenierie p.7)

$$ \frac{R_u(p)}{H_s} = 0.67*\left\{\frac{\tan(\alpha)}{\sqrt{\frac{2 \pi H_s}{gT_p^2}}}\right\}^{0.51} \sqrt{\frac{-\ln p}{2}} $$

Avec

  • $p$ : la probabilité de franchissement (=20%)
  • $T_p$ : la hauteur du pic du spectre de la houle ($T_p = 1.05*T_s$)
  • $T_s$ : la période significative de la houle ($T_s$=11.2s pour la tempête de 1982)
  • $H_s$ : la hauteur significative locale de la houle
  • $\alpha$ : angle de talus du côté de la mer
  • $R_u$ : Run-up

     La valeur de ce Run-up est calculée dans le programme Matlab fourni ci-dessous. Nous obtenons une valeur de 2.6m. La hauteur de crête devra être au minimum égale à celle-ci.

     Nous nous intéressons seulement au Run-up induit par la houle et négligeons le Run-up qui pourrait être induit par la navigation. En effet, en temps de tempête, la circulation des bateaux est strictement interdite, la valeur du Run-up dépendra uniquement de la houle incidente naturelle. 

     Un paramètre intéressant s'avère être le Run-Down $R_{dn\%}$. Il correspond au niveau le plus bas atteint par la houle. Il est définit verticalement par rapport au niveau de l'eau. Sa valeur sera positive lorsqu'il sera inférieur au niveau de l'eau au repos. En effet, il permet d'avoir une idée de l'étendue de l'ouvrage sur lequel les forces dues à la houle s'exerceront et ainsi d'assurer que cette zone soit résistante. La formule ci-dessous, nous donne l'extension minimale $E$ de cette zone (Source : Binôme 1 BEI)

$$ E= \frac{R_{un\%}+R_{dn\%}}{\sin(\alpha)} $$

     Pour des talus perméables en enrochements naturels, le Run-down a été évalué par Van der Meer (1988b) qui a proposé la formule empirique suivante, mais seulement pour un $R_{d2\%}$ :

$$ \frac{R_{d2\%}}{Hs} = 2.1 \sqrt{\tan(\alpha)} - 1.2 P^{0.15} + 1.5exp(-60 s_{0}) $$

Avec :

  • $P$ : la perméabilité de l'ouvrage ($P=0.37$)
  • $\alpha$ : l'angle de talus du côté de la mer
  • $s_0$ : la cambrure nominale de la houle

    Nous trouvons un Run-down de 2.1m. Ceci équivaut à une valeur de $E$ égale à environ 8.4m.

Estimation de l'extension E de notre contre-épi (Source : Binôme 1 du BEI)

    En conclusion de cette sous-partie, on retiendra qu'une crête de hauteur 2.6m par rapport à la hauteur du niveau d'eau au repos peut être un bon compromis. Cette hauteur de crête sera à valider par la suite.

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4. Estimation du Franchissement

    Généralement, lors du dimensionnement, un débit de franchissement maximum est fixé. Cette valeur est déterminée en se basant sur des expériences en laboratoire ou sur des relevés réels sur des ouvrages existants. L'évaluation de ce franchissement, nous permet de trouver la hauteur de la revanche. Elle correspond à la valeur minimale de la crête qui assurera la stabilité et la protection de l'ouvrage contre d'éventuels franchissements ou transmission.

    Si la revanche est supérieur à la valeur du Run-up calculée précédemment, il faudra donc se baser sur la valeur de la revanche pour dimensionner la crête.

    A l'aide du Rock Manual et de ses formules empiriques, nous allons évaluer cette revanche et la comparer au Run-up précédent.

    Lorsque les dégâts sur l'ouvrage sont acceptables mais de manière modérée, il a été retenu par expérience que le débit de franchissement ne devait pas dépasser $q=2.10^{-3}  m^3/s/m$ pour une digue à talus en enrochements naturels.

    Différentes méthodes sont disponibles pour décrire le franchissement. En revanche, elles sont applicables dans un domaine de validité très précis. Par exemple, la formule doit être adaptée aux talus rugueux avec noyau perméable, et non lisses, ce qui entraînera la présence d'un facteur de correction. Nous sommes également dans le cas où la houle arrive de façon oblique par rapport à l'ouvrage (60°),son influence sera plus importante. Un autre facteur correctif devra également être déterminé.
Les formules empiriques présentes dans le Rock Manual ont été trouvées à l'aide d'expériences sur des talus de pente 3/2, nous rentrons donc dans le domaine de validité.

    On choisit d'utiliser la méthode dite de TAW (2002a), développée par Van der Meer. Deux formules sont proposées, l'une pour une houle déferlante, et l'autre pour une houle non déferlante). On supposera que notre houle ne déferle pas compte tenu de la valeur du nombre d'Iribarren $\xi$.

    Voici la formule employée :

$$ R_c = \ln{\frac{q}{C \sqrt{g H_{m0}^3}}} \frac{H_{m0} \gamma_f \gamma_{\beta}}{-D} $$

Avec :

  • $H_{m0}$ : la hauteur significative spectrale, dans notre cas égale à $H_s$
  • $C$ et $D$ : coefficients déduits de la totalité des expériences disponibles ou de calculs de probabilités (on prendra C=0.2 et D=2.6, Source : Rock Manual, chap5)
  • $\gamma_f$ : coefficient de correction pour prendre en compte la rugosité du talus ($\gamma_f$ =0.4 pour un talus en enrochement naturel avec une carapace de 2 couches d'enrochements)
  • $\gamma_{\beta}$ : coefficient de correction pour prendre en compte l'angle d'incidence de la houle arrivant sur l'ouvrage ($\gamma_{\beta} = 1-0.0033 \vert{\beta}\vert$ pour $ 0° \leq \beta \leq 80°$)
  • $R_c$ : la revanche côté mer

    En considérant ce franchissement, la hauteur de crête devra avoir une hauteur de 1.17m au minimum. Étant donné que le Run-up est déjà plus élevé, ce critère pour la revanche sera forcément respecté. Le franchissement ne causera pas de dommage au contre-épi.

 

5. Estimation de la transmission de la houle

     Cette estimation est essentielle lorsque l'ouvrage est dit à crête abaissée (dans notre cas, l'ouvrage est semi émergé). La houle peut transmettre sont énergie à travers l'aménagement et provoquer une élévation à l'arrière de la surface libre.

     Le coefficient $C_t$ va caractériser cette transmission. Pour évaluer $C_t$, il suffit de comparer la hauteur de houle arrivant sur le contre-épi avec la hauteur de la houle transmise. N'ayant aucune donnée sur cette transmission, nous ne savons pas quel est l'ordre de grandeur de ce coefficient de transmission. On décide de balayer toutes les possibilités en faisant varier $C_t$ de 0 (aucune transmission) à 1 (transmission totale).

$$ C_t = H_t/H_i $$

Avec :

  • $H_t$ : la hauteur de houle transmise
  • $H_i$ : la hauteur de houle incidente

    Le cas $C_t=0.1$ est un cas où la transmission est quasiment totale. $C_t = 0.1$, nous fournira la transmission critique et par conséquent la revanche maximale à envisager pour l'ouvrage.

    Pour $C_t=0.1$, grâce à différents résultats d'essais du Rock Manual, on obtient ce rapport :

$$ 1.2 < R_c/H_s < 2.0 $$

    La hauteur de la revanche critique est de 3m.

    Afin d'obtenir des valeurs plus probables, nous testons d'autres valeurs de $C_t$.

    Pour $0.1 < C_t < 1$,

$$ C_t = 0.46 - 0.3 \frac{R_c}{H_s} $$

    En supposant que le coefficient de transmission n'atteindra pas moins de $C_t = 0.4$, compte tenu de la perméabilité du noyau voulue, on trouve une revanche minimale de 0.8m.

    En comparant cette valeur avec le Run-up, celle-ci est cohérente. Etant donnée que les revanches évaluées pour la transmission et le franchissement n'excède pas la valeur du Run-up, on retiendra $R_c = R_{u20\%} = 2.6 m $

 

6. Estimation de la réflexion

    Afin de limiter le phénomène de seiche et augmenter l'agitation, il faut définir le coefficient de réflexion de l'ouvrage.

    Les formules empiriques disponibles ont été réalisées sous une houle régulière. Des études ont montré que le coefficient de réflexion $C_r$ était directement lié au déferlement de la houle sur l'ouvrage :

$$ C_r = \frac{c \xi^2}{d + \xi^2} $$

Avec :

  • $c$ et $d$ : des coefficients différents selon le type de talus (ici, le talus rugueux en enrochements naturels en double couche et perméable) $c=0.64$ et $d=8.85$
  • $\xi$ : le nombre d'Iribarren
  • $C_r$ : le coefficient de réflexion

    On trouve un $C_r = 0.55$. le contre-épi devra avoir un coefficient de réflexion égale ou inférieur à cette valeur. Dans nos simulations le coefficient choisi était égal à 0.5 : le critère est respecté. Nos modélisations sont donc en adéquation avec nos estimations.

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2.2 Dimensionnement des éléments de l'ouvrage


1. Méthode de dimensionnement
2. Dimensionnement de la carapace
3. Dimensionnement de la butée de pied
4. Dimensionnement de la sous-couche
5. Dimensionnement du talus arrière
6. Contre-épi final

1. Méthode de dimensionnement

    Pour dimensionner le contre-épi, nous utilisons un critère de stabilité hydraulique. Le but principal du dimensionnement d'un aménagement est d'éviter tout mouvement de blocs d'enrochements au sein de celui-ci. Des formules de stabilité sont développées pour chaque élément de l'ouvrage, et des nombres adimensionnels sont mis en avant en fonction de la méthode choisie. Voici un ensemble de méthodes proposées par le Rock Manual :

Différentes méthodes de dimensionnement pour assurer la stabilité des ouvrages (Source : Rock Manual)

    Dans notre cas, le concept de la hauteur de houle est adapté pour dimensionner la carapace en enrochements naturels. Il sera utilisé également pour évaluer les dimensions optimales de la butée de pied.

    Le paramètre adimensionnel permettant de relier l'action de l'attaque de houle aux dimensions et caractéristiques de l'ouvrage est appelé "nombre de stabilité $N_s$". Son expression est la suivante :

$$ N_s = \frac{H_s}{\Delta D} $$

Avec :

  • $H_s$ : la hauteur de houle significative (généralement) (m)
  • $\Delta$ : la densité relative déjaugée (adimensionnelle) ($\Delta = \frac{\rho_r - \rho_w}{\rho_w}$)
  • $\rho_r$ : masse volumique apparente de la roche ($kg/m^3$)
  • $\rho_w$ : masse volumique de l'eau ($kg/m^3$)
  • $D$ : diamètre caractéristique (m) de l'élément considéré (généralement le diamètre nominal médian est utilisé $D_{n50}$)
  • $D_{n50}$ : diamètre nominal médian ($D_{n50} = \left\{\frac{M_{50}}{\rho_r}\right\}^{1/3}$)
  • $M_{50}$ : masse médiane d'un bloc (kg)

    Ce critère de stabilité est associée à une valeur qui définit le seuil d'instabilité (mise en mouvement). En pratique, d'autres valeurs fondamentales $x$ sont répertoriées pour caractériser le niveau de dommage acceptable sur l'ouvrage considéré.
Si $N_s < x$ la stabilité est assurée avec un niveau de dommage estimé.

    En fonction de ce nombre $N_s$ nous allons définir à quel type d'ouvrage côtier notre aménagement appartient. Le contre-épi doit être particulièrement adapté pour résister à la force de la houle même lors d'événements extrêmes c'est pourquoi des blocs d'enrochements suffisamment lourds seront utilisés. Les dommages acceptés doivent être minimes, en effet le mouvement de blocs pourrait entraîner des répercutions sur les bateaux.

Voici un classement des ouvrages côtiers et leur nombre de stabilité associé :

Classement des ouvrage côtier en fonction de $N_s$ (Source : Rock manual)

    Notre contre-épi sera associé à une digue statiquement stable. Son nombre de stabilité sera compris entre 1 et 4. Généralement les valeurs de $N_s$ sont proches de 2.

 

2. Dimensionnement de la carapace

    La carapace est l'élément le plus sensible à l'attaque de la houle, les caractéristiques des blocs utilisés, notamment leur masse, sont donc très importantes. Beaucoup de formules empiriques ont été développées en fonction de la stabilité de l'ouvrage depuis 70 ans.

    Nous choisissons d'utiliser l'approche d'Hudson (1959). Son domaine de validité est adapté à notre étude, puisqu'en effet elle peut être utilisée en eau profonde comme peu profonde et pour une houle déferlante ou non. Nous nous trouvons dans un cas intermédiaire: eau semi profonde et houle plutôt non déferlante. La formule de Hudson a été mise en place à l'aide d'expériences dans des conditions de houle régulière sur des ouvrages en enrochements non-franchis à noyau perméable.

Voici la formule de Hudson donnant la masse médiane de l'enrochement $M_{50}$ (Source : Rock Manual):

$$ M_{50carapace} =\frac{\rho_r H_{1/10}^3}{K_d \Delta^3 \cot(\alpha)} $$

Avec :

  • $\rho_r$ : masse volumique apparente de la roche ($kg/m^3$)
  • $\Delta$ : la densité relative déjaugée (adimensionnelle) ($\Delta = \frac{\rho_r - \rho_w}{\rho_w}$)
  • $H_{1/10}$ : Valeur moyenne du dixième supérieur des hauteurs des vagues des données observées à 30 minutes d'intervalle ($H_{1/10}=1.27 H_s$).
  • $\alpha$ : angle du talus côté mer
  • $K_d$ : coefficient de stabilité ($K_d$=4 pour une houle non déferlante et correspondant à  un niveau de dommage minime)
  • $M_{50carapace}$ : masse médiane d'un bloc d'enrochements de la carapace

    On trouve une masse estimée de 766 kg minimum pour la carapace.

    Or : $D_{n50carapace} = \left\{\frac{M_{50}}{\rho_r}\right\}^{1/3}$

    Nous pouvons donc avoir une approximation du diamètre médian à utiliser pour la carapace : $$D_{n50carapace} = 66 cm $$

    Ces paramètres nous fourniront une stabilité : $N_s = 1.4$. Cette dernière correspondant à celle recherchée : un dommage quasiment nul (entre 0 et 5%).

   En ce qui concerne la largeur de la crête $B$, il est souvent démontré grâce à la pratique, qu'elle doit au minimum être 3 à 4 fois plus grande que le diamètre médian nominal de l'enrochement constituant la carapace.

$$B_{minimum} = 4 * D_{n50carapace} = 2.7 m $$

    Pour des raisons de circulation et en prenant une certaine marge de sécurité, nous choisissons d'élargir cette largeur de crête à 3.5m.

    Concernant la porosité de la carapace celle-ci est évaluée à 37% (valeur typique pour des blocs anguleux placés sur une double couche avec une pente de 3/2).

    D'autres caractéristiques importantes pour la construction de l'aménagement sont à déterminer : l'épaisseur de la couche d'enrochement, le nombre de couches ainsi que le nombre de blocs d'enrochements au mètre carré à placer sur la couche.

    Voici la formule empirique fournissant l'épaisseur de la couche de la carapace (Source : Rock Manual) :

$$ e_{carapace} = n k_t D_{n50carapace} $$

Avec :

  • $n$ : nombre de couche de la carapace (ici, on prend $n$=2 pour avoir une carapace en double couche plus stable)
  • $k_t$ : coefficient d'épaisseur de couche prenant en compte la densité de pose de la couche ($k_t=0.97$ selon le rock manual dans notre cas)
  • $D_{n50carapace}$ : diamètre médian nominal de la carapace

    L'épaisseur de la couche de la carapace est de : 1.28m. Elle correspond à 2 fois le diamètre médian nominal des enrochements, ce qui valide notre estimation.

    Le nombre de blocs nécessaire pour habiller une surface de $1m^2$ est définit de la manière suivante : (Source : scs-ingenierie)

$$ N_{blocs carapace} = n k_t \left\{1-\frac{P}{100}\right\}\left\{\frac{M_{50carapace}}{\rho_r}\right\}^{-2/3} $$

Avec :

  • $n$ : nombre de couches de la carapace (ici, on prend $n$=2)
  • $k_t$ : coefficient empirique d'épaisseur de couche ($k_t=0.97$ selon le Rock Manual dans notre cas)
  • $P$ : porosité de la carapace ($P$ = 37%)
  • $M_{50carapace}$ : masse médiane d'un bloc d'enrochement de la carapace
  • $\rho_r$ : masse volumique apparente de la roche ($kg/m^3$)
  • $N_{blocs carapace}$ : nombre de blocs nécessaire sur une surface de $1m^2$

    Après calcul, on obtient $ N_{blocs carapace} $ = 3 blocs par $m^2$, ce critère sera à respecter par le constructeur.

    Les caractéristiques de la carapaces sont maintenant évaluées. Voici un tableau récapitulatif des éléments importants:

Caractéristiques de la carapace

Hauteur de la crête 2.6 m au dessus du niveau de l'eau au repos
Largeur de la crête 3.5 m
Nombre de couche 2
Epaisseur de la carapace totale 1.28 m
Masse médiane des blocs 766 $kg$
Diamètre médian des blocs 66 cm
Nombre de blocs sur une surface de $1m^2$ 3
Porosité 37 %

3. Dimensionnement de la butée de pied

    En général, lorsqu'une digue ou un contre-épi est orienté côté mer, une butée de pied est mise en place pour protéger la carapace des éventuels effets de fond. De même que pour la carapace cette butée de pied devra être stable.

    En mettant les mêmes types d'enrochements que la carapace pour construire cette butée, nous sommes sûrs d'assurer sa stabilité. En revanche, en pratique, il est préférable de réduire la taille des enrochements ainsi que leur masse pour de multiples raisons et plus particulièrement économiques. Cependant, il faut être vigilant de ne pas couvrir la butée d'un enrochement trop petit pour éviter d'éventuels colmatages, inclusions à l'intérieur de la carapace et même dans le cas extrême un arrachement de la butée sous l'action de la houle si son poids est trop faible.

    Une formule empirique pour évaluer la masse médiane minimum des blocs de la butée de pied est présentée dans le livre Ouvrages de protection contre la houle écrit par Daniel CAMINADE. Voici son expression :

$$ M_{50butée} = \left\{\frac{1}{10}\frac{h_t}{H_{1/10}}\right\} \left\{\frac{\rho_r H_{1/10}^3}{K_d \cot(\alpha) \Delta^3}\right\} $$

Avec :

  • $h_t$ : Hauteur d'eau au dessus de la butée de pied
  • $H_{1/10}$ : Valeur moyenne du dixième supérieur des hauteurs des vagues des données observées à 30 minutes d'intervalle ($H_{1/10}=1.27 H_s$)
  • $\rho_r$ : Masse volumique apparente de la roche ($kg/m^3$)
  • $\alpha$ : Angle du talus côté mer
  • $K_d$ : Coefficient de stabilité ($K_d$=4 pour une houle non déferlante et correspondant à  un niveau de dommage minime)
  • $\Delta$ : Densité relative déjaugée (adimensionnelle) ($\Delta = \frac{\rho_r - \rho_w}{\rho_w}$)
  • $ M_{50butée} $ : Masse médiane des blocs de la butée de pied

Afin de calculer cette masse, il faut estimer la hauteur d'eau au dessus de la butée $h_t$. Certains chercheurs ont émis l'hypothèse qu'une relation entre le nombre de stabilité et cette hauteur était existante. Cependant, à l'heure actuelle aucune preuve n'a été démontrée et aucune relation explicite n'a été découverte.

A l'aide de données répertoriées dans le Rock Manual, on remarque que plus la butée est élévée, moins la stabilité est assurée : on se rapproche d'un dimensionnement de berme. En revanche, lorsque la butée est proche du fond, la stabilité est assurée (ratio $h_t/h$ au dessus de 0.5, $h$ la profondeur d'eau). Voici un tableau récapitulatif tiré du Rock Manual récapitulant ces rapports de stabilité :

Valeur du nombre de stabilité en fonction du rapport $h_t/h$ (Source : Rock Manual)

On constate que pour un ration de 0.8, la stabilité est parfaitement assurée, et les dommages sont réduits. On choisira de dimensionner notre butée de pied en imposant cette stabilité $N_{s butée} = 6.5.

En utilisant la formule de Pilarczyk (1998) présentée dans le Rock Manual, nous pouvons remonter à $h_t$ :

$$h_t =\left\{\frac{ \frac{N_s butée}{N_{od}^{0.15}}-2}{6.2}\right\} ^{1/2.7} *h $$

Avec :

  • $N_s butée$ :Nombre de stabilité de la butée de pied
  • $h$ : Profondeur de l'eau au pied de l'ouvrage
  • $N_{od}$ : caractérise le niveau de dommage (on prend $N_{od} = 2$ ce qui correspond à un dommage accepté d'un léger aplanissement de la butée
  • $h_t$ : Hauteur d'eau au dessus de la butée de pied

    Après calculs, nous trouvons une hauteur d'eau au dessus de la butée de pied de $h_t = 3.35$, la hauteur de l'élément de l'ouvrage sera donc de : 65cm.

    Nous pouvons à présent déterminer la masse des blocs de l'élément : $ M_{50butée} $ = 135 kg $

 Nous appliquons ensuite les mêmes formules que pour la carapace pour déterminer la largeur minimale de la butée $ B_{butée}$ , le diamètre médian nominal des blocs $D_{n50 butée}$ et le nombre de blocs par m².

Voici un tableau récapitulatif des dimensions de la butée de pied :

Caractéristiques de la butée de pied

Hauteur de la butée 65 cm
Largeur de la crête 1.48 m
Masse médiane des blocs 135 $kg$
Diamètre médian des blocs 37 cm
Nombre de blocs sur une surface de $1m^2$ 9
Porosité 37 %

4. Dimensionnement de la sous-couche

    Aucune formule n'est applicable pour le dimensionnement des sous-couches. Seules des recommandations effectuées par le SPM (Shore Protection Manual) nous renseignent sur une proportionnalité entre les éléments de la carapace et ceux de la sous-couches.

$$ M_{50 sous couche} = 1/10 * M_{50  carapace} $$

et

$$ D_{50 sous couche} = 1/2.2 * D_{50 carapace} $$

    Les blocs de la sous couche ne doivent pas être trop petits, afin d'assurer une meilleure imbrication dans la carapace et afin d'avoir une sous couche rugueuse et perméable. L'évaluation de l'épaisseur de la couche et du nombre de blocs sur une surface de $1m^2$ est effectuée avec les mêmes formules que pour la carapace.

Voici un récapitulatif des caractéristiques de la sous couche :

Caractéristiques de la sous couche

Largeur de la sous couche 3 m
Nombre de couche 2
Épaisseur de la sous couche totale 58 cm
Masse médiane des blocs 77 $kg$
Diamètre médian des blocs 30 cm
Nombre de blocs sur une surface de $1m^2$ 14
Porosité 37%

5. Dimensionnement du talus arrière

    L'ouvrage a été dimensionné jusqu'à présent de manière à ce que le talus avant (côté mer) supporte l'attaque de la houle, et limite les effets de franchissement en acceptant des dommages minimes. Par conséquent, étant moins exposé, les dimensions du talus arrière peuvent être inférieures à celles du talus avant.

On choisit dans un premier d'utiliser une pente de talus arrière plus raide (4/3 : 4 unité de largeur et 3 unité de hauteur) que celle de l'avant pour limiter le volume de matière première à utiliser lors de la construction.

La taille des enrochements du talus arrière peut être exprimée à l'aide de cette formule (Van Gent et Pozueta (2005)) pour un niveau de dommage considéré : (Source : Rock Manual)

$$ D_{n50 talus arrière} = 0.008 \left\{\frac{S_d}{sqrt{N}}\right\}^{-1/6} \left\{\frac{u_{1\%}T_{m-1,0}}{\sqrt{\Delta}}\right\} (\cot(\alpha_{arrière})) ^{-2.5/6} \left\{1+10 exp(\frac {-R_{c,arriere}}{H_s})\right\}^{1/6} $$

Avec :

  • $S_d$ : coefficient de dommage ($S_d$ =2)
  • $N$ : nombre de vagues (pour une tempête de 6 heures avec une période de houle $T$ = 11.2s, on a $N = (6*3600)/11.2$
  • $H_s$ : hauteur significative de la houle
  • $T_{m-1,0}$ : période énergétique de la houle
  • $\alpha_{arrière}$ : angle du talus arrière
  • $R_{c,arriere}$ : revanche de la crête par rapport au niveau de l'eau à l'arrière de la crête (environ égale à $R_c$)
  • $u_{1\%}$ : vitesse maximale (moyennée sur la profondeur) à l'arrière de la crête (m/s) au cours d'un franchissement dépassé par 1% des vagues incidentes (Van Gent, 2003)

$$ u_{1\%} = 1.7*(g \gamma_{f-c})^{0.5} \left\{\frac{R_{u1\%} - R_c}{\gamma_f}\right\}^{0.5} / \left\{1+0.1 \frac{B}{H_s}\right\} $$

  • $B$ :la largeur de crête
  • $R_c$ : la revanche de la crête côté mer
  • $\gamma_f$ : rugosité du talus côté mer (=0.55 pour des talus en enrochements rugueux)
  • $\gamma_{f-c}$ : rugosité de la crête (=0.55 pour les crêtes en enrochements)

    Dans cette expression, il faut faire attention à la valeur du Run-up à 1%, qui est une valeur fictive calculée à l'aide de la formule de Van Gent (2003) reliant le $R_{u1\%}$ au déferlement calculé à partir de la période énergétique $T_{m-1,0}$ et non la période moyenne.

  • Déferlement $\xi_{s-1,0} = \tan(\alpha) / \sqrt{(2 \pi H_s) / (g T_{m-1,0}^2)}$
  • Période $T_{m-1,0}$  : $T_{m-1,0} = T_p / 1.1 $ avec $T_p = T_{1/3} / (1 - 0.132*(\gamma +0.2)^{-0.559})$ et $\gamma = 3.3$, facteur correctif

Le déferlement calculé ci-dessus et de l'ordre de 7. On choisit donc la formule suivante pour calculer $R_{u1\%}$ :

$$ R_{u1\%} = \frac {(c_1 - c_2)}{\xi_{s-1,0}} \gamma H_s $$ pour $ \xi_{s-1,0} >p$

Avec :

  • $c_1$ et $c_2$ : coefficients empiriques ($c_1$=5.1 et $c_2$=0.25)
  • $\gamma$ =3.3
  • $ \xi_{s-1,0}$ : le déferlement calculé avec la période énergétique
  • $ R_{u1\%} $ : le Run-up 1% fictif

Grâce à tous ces éléments et calculs, nous obtenons une valeur du diamètre médian des blocs du talus arrière égale à 49 cm soit 17 cm de moins que l'enrochement de  la carapace.

La masse des enrochements sera donc de 317 kg (soit moins de la moitié d'un bloc de la carapace) :

$$ M_{50 talus arriere} = D_{50 talus arriere}^3 * \rho_s $$

Comme pour les parties précédentes, le nombre de blocs et l'épaisseur sont calculés avec les formules de celle de la carapace.

Une dernière dimension importante à estimer est la largeur $L_s$. Elle va servir à délimiter le début du talus arrière sur la crête. Elle correspond à la zone qu'il faudra protéger contre les éventuelles projections d'eau sur la crête, c'est-à-dire là où l'enrochement doit être encore conséquent.

Cette largeur est déterminée de la façon suivante :

$$ L_s = 0.2 \phi T \sqrt{g (R_u - R_c)} $$

Avec :

  • $\phi$ : facteur lié à l'importance de l'ouvrage (compris entre 1 et 2). Le choix de la valeur est laissée au jugement du concepteur.
  • $T$ : période moyenne de la houle (s)
  • $R_u$ : Run-up de la houle
  • $R_c$ : revanche côté mer de la crête
  • $L_s$ : longueur à protéger

Compte tenu de la présence de digue dissipant la houle en amont du contre épi, on choisit de prendre $\phi$=1. On trouve ensuite un $L_s$ d'une largeur de 2m.

Le talus arrière commencera donc à 2m de la largeur de la crête.

Voici un récapitulatif des dimensions du talus arrière :

Caractéristiques du talus arrière

Longueur de la crête à protéger 2 m
Nombre de couche 2
Épaisseur du talus 96 cm
Masse médiane des blocs 317 $kg$
Diamètre médian des blocs 49 cm
Nombre de blocs sur une surface de $1m^2$ 5

6. Contre-épi final

    Voici le récapitulatif des dimensions de l'ouvrage répertoriées sur les dessins ci-dessous. Nous choisissons un noyau constitué de tout-venant, c'est-à-dire de granulats de différentes tailles mais inférieurs à 500 kg, et disponibles autour du site, comme il est conseillé dans le Rock Manual.

Dessin représentant les principales dimensions de l'ouvrage (Source : Binôme 1 du BEI)

Schéma à l'échelle (Source : Binôme 1 du BEI)

Programme Matlab associé au dimensionnement de la digue : dimensionnement.m

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