Les équations régissant les courants

Les logiciels que nous allons utiliser pour les modélisations se servent des équations mises en place pour décrire les courants marins. Ces équations, dites primitives, sont obtenues après simplifications grâce aux hypothèses et donnent une description des courants suffisantes pour permettre de les modéliser. Elles permettent d'établir la circulation océanique générale, mais ne prennent pas compte les comportements plus locaux, difficilement prévisibles et modélisables, car ayant un caractère aléatoire.

Différents paramètres agissent sur l'océan et entraînent la formation des courants marins. Il y a deux types de forces influant sur les courants. D'une part, les forces actives, qui sont les forces productrices de courant. Elles comprennent les forces internes à l'océan qui sont dues aux variations de densité provenant des échanges énergétiques à l'interface entre l'eau et l'atmosphère et les forces externes dues aux vents, à la variation de la pression atmosphériques, ...

D'autre part, nous avons les forces passives, qui sont modificatrices du mouvement. Ce sont la force de Coriolis, la force de frottement due aux vents, ...

Tous ces paramètres permettent d'établir les équations primitives de circulation océanique, qui sont composées des équations de Navier-Stokes, de continuité, de conservation de la température et de la salinité ainsi que l'équation d'état de l'eau de mer.

Équations de conservation de la quantité de mouvement 

\[\frac{\delta u }{\delta t } + \mathbf {U} \nabla u = - \frac{1}{\rho_0} \frac{\delta P}{\delta x}+ f v   +A_x \frac{\delta^2 u}{\delta^2 x } + A_y \frac{\delta^2 u}{\delta^2 y } + A_z \frac{\delta^2 u}{\delta^2 z } \]

\[\frac{\delta v }{\delta t } + \mathbf {U} \nabla v= - \frac{1}{\rho_0} \frac{\delta P}{\delta y} - f u   +A_x \frac{\delta^2 v}{\delta^2 x } + A_y \frac{\delta^2 v}{\delta^2 y }+ A_z \frac{\delta^2 v}{\delta^2 z } \]

Dans ces équations, on voit l'influence de la pression, de la force de Coriolis et de la turbulence.
Pour la pression, on peut remarquer que le fluide se déplace de pressions hautes vers les basses pression (gradient négatif).

La force de Coriolis est la force due à la rotation de la Terre. En effet, en tournant, cette dernière entraîne une déviation de la trajectoire initiale. Dans l'hémisphère Nord, cette variation se fait dans le sens anti-trigonométrique.

Équation de continuité 

\[ \nabla \mathbf{U} = \frac{\delta u }{\delta x }+\frac{\delta v }{\delta y }+\frac{\delta w }{\delta z } = 0 \]

Équation hydrostatique 

\[dP = - \rho g dz \]

Équation de conservation de la salinité 

\[ \frac {\delta S}{ \delta t } + \mathbf{U}  \nabla S = K_{S,h} \nabla_h^2 S + K_{S,z} \frac{ \delta^2 S}{\delta z^2} \]

Équation de conservation de la température 

\[\frac{\delta T }{\delta t } + \mathbf{U} \nabla T = K_{T,h} \nabla_h^2 T + K_{T,z} \frac{ \delta^2 T}{\delta z^2} \]

Équation internationale d'état de l'eau de mer (IES80) 

\[ \rho = \rho (T,S,P) \]

Cette équation a été établie en 1980. Elle comporte 11 polynômes auxquels sont associés 41 coefficients numériques.

 

Les variables utilisées 

- $\mathbf {U} $: vitesse non turbulente du fluide de composantes u, v, w suivant les axes x, y , z. (m.s-1)

- $\mathbf {U'} $ : vitesse turbulente de composantes u', v', w' (m.s-1)

on a les relations suivantes entre la vitesse non turbulente et la vitesse turbulente :

$ \overline{u' u'} = - A_x \frac {\delta u }{\delta x} $          $ \overline{u' v'} = - A_y \frac {\delta u }{\delta y} $          $ \overline{u' w'} = - A_z \frac {\delta u }{\delta z} $

$ \overline{v' u'} = - A_x \frac {\delta v }{\delta x} $           $ \overline{v' v'} = - A_y \frac {\delta v }{\delta y} $          $ \overline{v' w'} = - A_z \frac {\delta u }{\delta z} $

$ \overline{w' u'} = - A_x \frac {\delta w }{\delta x} $          $ \overline{w' v'}= - A_y \frac {\delta w }{\delta y} $          $ \overline{w' w'} = - A_z \frac {\delta w }{\delta z} $

- $ \mathbf {A} $ : coefficient de viscosité turbulente ou d'Austaucht (m².s-1) de composantes Ax, Ay, Az.

- t : temps (s)

- $\rho_0 $ : masse volumique ( kg.m-3)

- P : pression (Pa)

- $f = 2 \Omega sin \theta $ : paramètre de Coriolis avec $\Omega$ le vecteur rotation de la Terre et $\theta $ la latitude.

- S : salinité (g.kg-1)

- T : température (K)

- $ \mathbf {K_S} $ : diffusivité cinématique (m².s-1) du sel de composantes KS,x, KS,y, KS,z. On a KS,x = KS,y = KS,h.

- $ \mathbf {K_T} $ : diffusivité cinématique (m².s-1) du sel de composantes KT,x, KT,y, KT,z. On a KT,x = KT,y = KT,h.