Les conditions limites

Conditions limites en surface

Aux équations primaires,  s'ajoutent les apports des éléments extérieurs en surface : le vent, le climat...influent également sur les courants. En effet, à la surface de l'océan, il y a des échanges permanents entre l'eau et l'atmosphère. Ces échanges sont de plusieurs types :

  • Échanges de moment, par les frottements dus à la différence de vitesse entre le vent et les courants en surface.
  • Échanges de chaleur, dus à la convection du vent et à la propre émission thermique de l'océan.
  • Échanges de masse, par la pluie et l'évaporation.

Ces influences sont en partie prises en compte grâce aux conditions limites en surface.

A la surface, la hauteur d'eau n'est pas constante, on définie $\eta$ tel que à la surface $ z= \eta(x,y,t) $.

Jusqu'à une certaine profondeur, les vents vont avoir une influence sur les courants. on va alors avoir ce qu'on appelle les transports d'Ekman. Expliquons rapidement le principe de ces transports : à la surface, les vents entraînent le fluide dans leur direction, cependant cette influence diminue rapidement avec la profondeur et  une autre force intervient, la force de Coriolis. Elle entraîne une déviation de la trajectoire des courants. Dans la couche limite ou les vents influencent les courants, ces derniers se retrouvent donc déviés par rapport à la direction du vent d'en moyenne 45°.

source : oceanmotion.org

L'influence du vent sur la surface de l'océan est décrit par les équations suivantes :

\[ A_z \frac{\delta u}{\delta z}=\ \frac{\tau_{s,x}}{\rho_0} \]

\[ A_z \frac {\delta v}{\delta z }=\ \frac{\tau_{s,y}}{\rho_0} \]

et \[ \frac {\delta \eta}{ \delta z} =w \]

avec $ \mathbf {\tau_s} = ( \tau_{s,x},\tau_{s,y})  $ la tension de suface en Pa. on a $ \mathbf {\tau_s} = \rho_{air} C_v || \mathbf V_{vent} || \mathbf V_{vent} $ avec :

  • $\rho_{air}$ la masse volumique de l'air
  • Cv le coefficient de trainée
  • $ \mathbf V_{vent} $ le vitesse du vent à 10 mètres d'altitude.

L'équation de conservation de la quantité de mouvement s'écrira alors en régime stationnaire:

\[ 0 = - \frac{1}{\rho_0} \frac{\delta P}{\delta x}+ f v  + \frac{1}{\rho}_0 \frac{\delta \tau_{s,x}}{\delta z} \]

\[ 0 = - \frac{1}{\rho_0} \frac{\delta P}{\delta y}- f u  + \frac{1}{\rho_0} \frac{\delta  \tau_{s,y}}{\delta z} \]

En résolvant ces équations, on obtient une formulation de la vitesse en surface, qui nous permet de définir l'épaisseur d'Ekman telle que : \[ D_E= \sqrt{ \frac {2 A_z}{f}}\]

Au dela de $\pi$ fois cette épaisseur, on considère que les vents n'ont plus d'influence sur les courants.

Pour la température 

\[ K_{T,z} \frac {\delta T}{\delta z}|_{z=\eta} = \frac {Q}{\rho_0 C_p}\]  avec Q le flux de chaleur de l'océan vers l'atmosphère en W.m-2 et Cp la capacité calorifique en J.kg-1.

Pour la salinité 

\[ K_{S,z} \frac {\delta S}{\delta z}|_{z=\eta}= \frac { S(E-P)}{\rho_0}\]

avec E l'évaporation et P la pluie.

 

Conditions limites en profondeur

Considérons une profondeur h. Au fond, z=-h. Ici, les conditions limites vont être dues aux frottements du fluide contre la paroi du fond.

On a les équations suivantes :

\[ A_z \frac {\delta u}{\delta z }= \frac{1}{\rho_0}\tau_{b,x} \]

\[ A_z \frac {\delta v}{\delta z }= \frac{1}{\rho_0}\tau_{b,y} \]

et \[ w= -u \mathbf { \nabla H} \]

 avec la contrainte pariétale en Pa $\mathbf{\tau_{b}} = \rho_0 C_d || \mathbf {V_b}|| \mathbf {V_b} $ avec Cd le coefficient de trainée et Vb la vitesse horizontale proche de la frontière.

Nous pouvons à nouveau obtenir des formulations de la vitesse dans une couche limite.

Pour la température 

\[ K_{T,z} \frac {\delta T}{\delta z}|_{z=-h} = 0 \]

Pour la salinité

\[ K_{S,z} \frac {\delta S}{\delta z}|_{z=-h} = 0 \]