Modélisation Numérique

Le moulin Priaud est situé dans une zone n'ayant fait l'objet d'aucune étude approfondie d'aucune sorte. Il en résulte un accès fortement limité à des données de terrain précises. Concernant la bathymétrie, le modèle numérique de terrain le plus fin disponible propose une résolution de 10m. Sachant que la Vouzance est un cours d'eau relativement étroit ayant une section d'environ 15 mètres de large maximum, ces seules données sont insuffisantes pour réaliser une étude 2D des zones inondables sous Télémac.
La problématique étant limitée à l'arrivée d'eau au niveau de l'entrée du moulin, il a été décidé d'utiliser le logiciel HEC-RAS qui propose une modélisation 1D des cours d'eau. L'hypothèse est donc faite que les débordements éventuels de la Vouzance en amont et aval du canal d'amenée influenceront peu l'écoulement dans ledit canal.

Code de calcul numérique HEC RAS

HEC-RAS, Hydrologic Engineering Centers River Analisys System est un logiciel développé par l'US Army Corps of Engineers.

Le logiciel résout l'équation 1D de Saint Venant par la méthode des différences finies. Ce modèle ne considère que la composante de la vitesse suivant le sens de l'écoulement. Il possède entre autre un module complémentaire de transport sédimentaire et de transport de polluants, qui ne seront pas exploités dans notre travail.
 

  1. Équation en régime permanent

Les hauteurs d'eau sont estimées à partir de l'équation de conservation de l'énergie entre deux sections (loi de Bernoulli).

$Z_2+Y_2+\frac{a_2{V_2}^2}{2g}=Z_1+Y_1+\frac{a_1{V_1}^2}{2g}+h_e$

  • $Z_1$, $Z_2$ : élévation de chacune des sections.
  • $Y_1$, $Y_2$ : hauteur d'eau au niveau des sections respectives.
  • $V$ : Vitesse moyenne.
  • $a_1$, $a_2$ : coefficient correcteur de la vitesse.
  • $h_e$ : perte de charge.


Figure 1. Représentation des termes intervenant dans l'équation de conservation de l'énergie. Source : [2]
 

Le terme de perte de charge inclut la dissipation due à l'expansion ou la contraction du cours d'eau, et une dissipation linéaire due aux frottements.

Les forces de frottements sont exprimées ainsi : $F_f=-\rho g A S_f \Delta x$

Avec $S_f=\frac{Q|Q|n^2}{2.208R^{4/3}A^2}$

  • $Q$, le débit.
  • $n$, le coefficient de Manning.
  • $R$, le rayon hydraulique $R=\frac{S}{P} (P périmètre mouillé).
  • $A$, la section mouillée.
  • $\Delta x$, la dimension de la section élémentaire.

Pour représenter au mieux la réalité de l'écoulement, le coefficient de Manning pour le lit mineur et le lit majeur est différent. Cela permet de retranscrire l'occupation des sols en plaine ou en forêt par exemple, en cas de débordement.
 

  1. Ouvrage singulier, Seuil

Le logiciel HEC-RAS propose un module de modélisation des seuils. A proximité du seuil, l'écoulement n'est plus régit par la loi de Manning-Strickler, mais par la loi de seuil. C'est à dire qu'il passe d'un régime fluvial (ou subcritique) en amont du seuil à un régime torrentiel (ou supercritique) sur le parement aval du seuil. La théorie des écoulements à surface libre nous dit qu'au niveau du passage critique de l'écoulement au dessus du seuil, la valeur du débit correspond à une hauteur d'eau précise de la lame d'eau déversante.


Figure 2. Représentation de l'écoulement sur un seuil déversant

Loi de seuil dénoyé : $Q=\mu L \sqrt{2g} H^{3/2}$ [3]

  • $\mu$ : coeffiscient de débit de seuil.
  • H : hauteur de la lame d'eau.
  • L : longueur du seuil.

Loi de seuil noyé : $Q=\mu' L H' \sqrt{2g(H-H')}$ [3]

  • $\mu'$ : $\frac{3\sqrt{3}\mu}{2}$.
  • H' : ligne de charge en aval estimée depuis la crête du seuil.
  • H : hauteur de la lame d'eau.

NB : Un seuil est dit noyé lorsque le tirant d'eau en aval influence l'écoulement en amont. A ne pas confondre avec submergé ou complètement noyé. Le seuil est noyé dès lors que $H'>\frac{2H}{3}$.
 

  1. Équation de conservation de la masse en régime transitoire [4]

Lit mineur : $\frac{\partial{S_{MC}}}{\partial{t}} + \frac{\partial{Q_{MC}}}{\partial{x_{MC}}} = q_{l,FP}$

  • $S_{MC}$ : section en travers de l'écoulement du lit mineur.
  • $Q_{MC}$ : débit du lit mineur.
  • $q_{l,FP}$ : débit unitaire d'échange du lit majeur vers le lit mineur.

Lit majeur : $\frac{\partial{S_{FP}}}{\partial{t}} + \frac{\partial{Q_{FP}}}{\partial{x_{FP}}} + \frac{\partial{S_t}}{\partial{t}}= q_{l,MC}+q_l$

  • $S_{MC}$ : section en travers de l'écoulement du lit majeur.
  • $Q_{MC}$ : débit du lit majeur.
  • $S_t$ : volume unitaire d'eau contenu dans l section, mais ne participant pas aux échanges.
  • $q_l$: débit unitaire entrant dans la section.
  • $q_{l,MC}$ : débit unitaire d'échange du lit mineur vers le lit majeur.

NB : L'abréviation MC renvoie à "Main Channel" (lit mineur) et l'abréviation FP renvoie à "Flood Plain" (lit majeur).
 

  1. Équation de conservation de la quantité de mouvement en régime transitoire [4]

Lit mineur : $\frac{\partial{Q_{MC}}}{\partial{t}} + \frac{\partial{(V_{MC} Q_{MC})}}{\partial{x_{MC}}}= M_{l,FP} - gS_{MC} (\frac{\partial{z}}{\partial{x_{MC}}}+S_{f,MC}+S_{h,MC})$

  • $Q_{MC}$ : débit du lit mineur.
  • $V_{MC}$ : vitesse dans le lit mineur.
  • $M_{l,FP}$ : flux unitaire de quantité de mouvement d'échange latéral.
  • $S_{MC}$ : section en travers de l'écoulement.
  • $S_{h,MC}$: pente des pertes de charge singulières liées aux obstacles.

Lit majeur : $\frac{\partial{Q_{FP}}}{\partial{t}} + \frac{\partial{(V_{FP} Q_{FP})}}{\partial{x_{FP}}}= M_{l,MC} - gS_{FP} (\frac{\partial{z}}{\partial{x_{FP}}}+S_{f,FP}+S_{h,FP})$

  • $Q_{FP}$ : débit du lit majeur.
  • $V_{FP}$ : vitesse dans le lit majeur.
  • $M_{l,MC}$ : flux unitaire de quantité de mouvement d'échange latéral.
  • $S_{FP}$ : section en travers de l'écoulement.
  • $S_{h,FP}$: pente des pertes de charge singulières liées aux obstacles.

Données de bathymétrie

Pour palier au manque de données d'altimétrie dans la zone d'étude, nous avons réalisé des mesures de profil en travers sur différentes sections de la Vouzance et du canal d'amenée à proximité du moulin.

1. Protocole de mesure

Matériel: canoë pneumatique, corde graduée, perche graduée.

La corde a été tendue en travers du bras d'eau; à l'aide de la perche graduée, les profondeurs d'eau et de vase sont relevées le long de la corde à pas d'espace régulier.

Le protocole est répété pour chacune des sections.


Figure 1. Protocole de mesure des sections du cours d'eau

2. Résultats

Sur la photo suivante sont regroupées les différentes sections sur lesquelles ont été effectuées les mesures de hauteur d'eau.


Figure 2. Position des sections mesurées. Source : [5]

Les sections mesurées sont intégrées à HEC-RAS pour la modélisation de la zone d'étude. L'ensemble des sections mesurées sont regroupées ci dessous (cliquer sur les images pour agrandir).

       
                                         section A                                                                                                    section B

                                                                section C                                                                                                 section D

       
                                             section E                                                                                                 section F
                                                                  Figure 3. Profils transversaux de la rivière et du canal d'amenée

Le moulin étant inactif depuis plusieurs années, il n'y a pas de débit traversant le canal d'amenée. L'ensemble du canal se comporte alors comme un bassin de décantation et s'envase. Immédiatement après le seuil, la lame d'eau est très mince (20 cm le jour des mesures de bathymétrie). Cet envasement soulève un certain nombre de problématiques, notamment l'étranglement de l'écoulement provoque une perte de charge singulière dans le canal.

Un rapide calcul des temps caractéristiques de sédimentation et de transport permet d'éclairer partiellement le devenir de cet amas de vase.

$\tau _{sedimentation}=5,5 10^5 s$

$\tau_{advection}=10,5 s$

L'amas est amené à s'effacer progressivement s'il y a de nouveau un débit à l'intérieur du canal. Le propriétaire devra veiller à l'évacuation des corps flottants volumineux piégés dans la vase (branchages). Le canal peut aussi être curé si l'autorisation est obtenue, et selon la qualité des sédiments, les vases peuvent être valorisées en étant utilisées pour des épandages.

Paramètres du problème

Afin de rendre compte au mieux de la situation du moulin en période de crue, plusieurs modèles ont été testés sous HEC-RAS.

Nous faisons l'hypothèse qu'au moment d'une crue, la vanne de la turbine est fermée. Le canal d'amenée se comporte alors comme un réservoir dont la hauteur d'eau est imposée par l'écoulement au niveau du seuil. En revanche, au moment où la hauteur d'eau dépasse celle des rives du canal, un écoulement est observé, et l'influence du seuil sur la ligne d'eau diminue. La situation se complexifie davantage lorsque le seuil est noyé au passage d'une crue. Les différents paramètres du modèle sont présentés ci-après, suivis d'une présentation des différentes configurations étudiées.
 

  1. Lit de la rivière
  • Coefficient de Manning

Pour modéliser le frottement, le logiciel HEC-RAS utilise le coefficient de Manning $n=\frac{1}{K}$. $K$ correspond au nombre de Strickler estimé à partir des tables disponibles dans la littérature. [3]


Ordre de grandeurs du coefficient de Strickler

Le coefficient de Manning n'a pas été calé, par manque de données. Cependant, sur la zone modélisée, il a peu d'influence. En effet, le seuil impose la hauteur dans la zone d'étude en fonction du débit déversé. La hauteur d'eau en amont de l'ouvrage n'est pas un critère pertinent, tant qu'elle ne dépasse pas celle imposée par l'ouvrage.


Figure 1. Coefficients de Manning utilisés dans les simulations

  • Extrapolation du cours d'eau

En raison du nombre réduit de données sur les caractéristiques du terrain et des conditions d'écoulement directement aux abords des installations et en particulier du seuil, la zone d'étude est élargie en amont et en aval du moulin de manière à s'affranchir des problèmes liés aux limites du domaine. On notera que l'écoulement en aval du seuil n'influence pas la ligne d'eau en amont tant que le seuil est dénoyé.

La bathymétrie en amont est extrapolée à partir des mesures effectuées sur place au niveau des sections E et F et d'une estimation de la pente du terrain dans la zone d'étude. Il en est de même pour l'aval.

La pente moyenne a été estimée à partir d'un modèle numérique de terrain (MNT) fourni par le CRAIG (Centre Régional Auvergnat de l'Information Géographique) et d'une maille de 10m.

L'altitude correspondant aux fond du lit de la Vouzance a été extraite sous matlab sur une distance de 3km. Le signal correspondant étant très bruité, il a été lissé par fenêtre mobile de largeur 100m. Une interpolation linéaire est réalisée pour estimer la pente moyenne dans la région, soit environ 0,4%. La pente permet d'estimer l'incrément qu'il est nécessaire d'ajouter pour l'extrapolation de la bathymétrie en amont et en aval.

Par ailleurs, le lit majeur de la Vouzance étant relativement plat, il est modélisé sous HEC-RAS par des berges horizontales sur une grande distance (100m).
 

  1. Seuil
  • Coefficient de seuil

Pour le type de seuil installé au Moulin Priaud, le coefficient varie de 0,3 à 0,4 et dépend principalement de l'épaisseur et de l'état du seuil. Dans notre cas d'étude, en confrontant les observations terrains et la littérature, le coefficient de seuil a été fixé raisonnablement à 0,38.

Pour réaliser un calage plus fin, il aurait fallu mesurer plusieurs débit et hauteurs d'eau au niveau du seuil. Cependant dans le cadre de ce projet, il ne nous a pas été possible de le faire.

  • Vannes de décharges

Pour les vannes coulissantes, le coefficient de décharge varie de 0,5 à 0,7. Il est estimé à partir des charges en amont et en aval et de la dimension de la vanne.

La littérature propose un coefficient de décharge de 0,6 pour chacune des vannes du seuil.
 

  1. Prise d'eau du moulin

En période de crue, le moulin ne fonctionnant pas, l'extrémité aval du canal d'amenée est modélisée par un mur qui s'étend de part et d'autre sur une vingtaine de mètres pour représenter les bâtiments de la centrale et les habitations.
 

  1. Conditions limites

En Amont de l'écoulement, le débit entrant est imposé. En aval, c'est la hauteur de la surface libre qui est estimée.

Configuration de la zone d'étude

Afin de choisir la configuration la plus à même de fournir des résultats cohérents avec la réalité, différentes possibilités ont été comparées dans deux situations pour lesquelles les conditions d'écoulement au niveau du moulin étaient à peu près connues, à savoir la journée de mesures sur site (le 13 février 2014) et la crue de juillet 2008.
 

  1. Déversoir latéral

La première configuration consiste à considérer le cours d'eau principal comme passant par le moulin avec un déversoir latéral à deux vannes de décharges modélisé au niveau du seuil. L'eau passant par le seuil rejoint ensuite le cours d'eau principal plus loin en aval (à 150m). L'écoulement au niveau de la vanne de prise d'eau (fermée) est bloqué par une structure perpendiculaire à l'écoulement suffisamment haute pour simuler un mur infranchissable autrement que sur les côtés.


Figure 1. Représentation de la zone d'étude sous HEC-RAS


Figure 2. Seuil latéral (HEC-RAS)

Pour affiner les calculs, une interpolation de la bathymétrie est réalisée entre les sections qui ont été mesurées. La particularité de cette simulation est que sous HEC-RAS, un déversoir latéral est représenté de telle manière que la perte d'énergie dans le canal principal est progressive le long des sections concernées par l'ouvrage.
 

  1. Réservoir latéral

Une modélisation simplifiée du domaine consiste à considérer que le canal d'amenée est un réservoir latéral dans lequel il n'y a pas d'écoulement et où la ligne d'eau dépend uniquement du débit franchissant le seuil. Dans ce cas, le seuil est représenté par un ouvrage construit en travers du cours d'eau principal. Il n'est donc plus nécessaire de représenter la géométrie du canal d'amenée. L'important est de connaître la différence de hauteur des berges du canal entre le seuil et la prise d'eau pour déterminer quelle hauteur d'eau au niveau du seuil va correspondre à un débordement au niveau du moulin. Le seuil et les vannes de décharges sont représentés à partir des données terrains.


Figure 3. Allure des berges du canal

  1. Séparation du bras principal

Une dernière modélisation consiste à considérer le lit principal se séparant en deux, d'une part vers le canal d'amenée, d'autre part vers le tronçon court-circuité. Le seuil et les vannes de décharge sont modélisés en travers du tronçon court-circuité. Comme dans le cas du déversoir latéral, le canal d'amenée est représenté avec une vanne pouvant être actionnée, et un mur correspondant à la structure du moulin.