Code de calcul numérique HEC RAS

HEC-RAS, Hydrologic Engineering Centers River Analisys System est un logiciel développé par l'US Army Corps of Engineers.

Le logiciel résout l'équation 1D de Saint Venant par la méthode des différences finies. Ce modèle ne considère que la composante de la vitesse suivant le sens de l'écoulement. Il possède entre autre un module complémentaire de transport sédimentaire et de transport de polluants, qui ne seront pas exploités dans notre travail.
 

  1. Équation en régime permanent

Les hauteurs d'eau sont estimées à partir de l'équation de conservation de l'énergie entre deux sections (loi de Bernoulli).

$Z_2+Y_2+\frac{a_2{V_2}^2}{2g}=Z_1+Y_1+\frac{a_1{V_1}^2}{2g}+h_e$

  • $Z_1$, $Z_2$ : élévation de chacune des sections.
  • $Y_1$, $Y_2$ : hauteur d'eau au niveau des sections respectives.
  • $V$ : Vitesse moyenne.
  • $a_1$, $a_2$ : coefficient correcteur de la vitesse.
  • $h_e$ : perte de charge.


Figure 1. Représentation des termes intervenant dans l'équation de conservation de l'énergie. Source : [2]
 

Le terme de perte de charge inclut la dissipation due à l'expansion ou la contraction du cours d'eau, et une dissipation linéaire due aux frottements.

Les forces de frottements sont exprimées ainsi : $F_f=-\rho g A S_f \Delta x$

Avec $S_f=\frac{Q|Q|n^2}{2.208R^{4/3}A^2}$

  • $Q$, le débit.
  • $n$, le coefficient de Manning.
  • $R$, le rayon hydraulique $R=\frac{S}{P} (P périmètre mouillé).
  • $A$, la section mouillée.
  • $\Delta x$, la dimension de la section élémentaire.

Pour représenter au mieux la réalité de l'écoulement, le coefficient de Manning pour le lit mineur et le lit majeur est différent. Cela permet de retranscrire l'occupation des sols en plaine ou en forêt par exemple, en cas de débordement.
 

  1. Ouvrage singulier, Seuil

Le logiciel HEC-RAS propose un module de modélisation des seuils. A proximité du seuil, l'écoulement n'est plus régit par la loi de Manning-Strickler, mais par la loi de seuil. C'est à dire qu'il passe d'un régime fluvial (ou subcritique) en amont du seuil à un régime torrentiel (ou supercritique) sur le parement aval du seuil. La théorie des écoulements à surface libre nous dit qu'au niveau du passage critique de l'écoulement au dessus du seuil, la valeur du débit correspond à une hauteur d'eau précise de la lame d'eau déversante.


Figure 2. Représentation de l'écoulement sur un seuil déversant

Loi de seuil dénoyé : $Q=\mu L \sqrt{2g} H^{3/2}$ [3]

  • $\mu$ : coeffiscient de débit de seuil.
  • H : hauteur de la lame d'eau.
  • L : longueur du seuil.

Loi de seuil noyé : $Q=\mu' L H' \sqrt{2g(H-H')}$ [3]

  • $\mu'$ : $\frac{3\sqrt{3}\mu}{2}$.
  • H' : ligne de charge en aval estimée depuis la crête du seuil.
  • H : hauteur de la lame d'eau.

NB : Un seuil est dit noyé lorsque le tirant d'eau en aval influence l'écoulement en amont. A ne pas confondre avec submergé ou complètement noyé. Le seuil est noyé dès lors que $H'>\frac{2H}{3}$.
 

  1. Équation de conservation de la masse en régime transitoire [4]

Lit mineur : $\frac{\partial{S_{MC}}}{\partial{t}} + \frac{\partial{Q_{MC}}}{\partial{x_{MC}}} = q_{l,FP}$

  • $S_{MC}$ : section en travers de l'écoulement du lit mineur.
  • $Q_{MC}$ : débit du lit mineur.
  • $q_{l,FP}$ : débit unitaire d'échange du lit majeur vers le lit mineur.

Lit majeur : $\frac{\partial{S_{FP}}}{\partial{t}} + \frac{\partial{Q_{FP}}}{\partial{x_{FP}}} + \frac{\partial{S_t}}{\partial{t}}= q_{l,MC}+q_l$

  • $S_{MC}$ : section en travers de l'écoulement du lit majeur.
  • $Q_{MC}$ : débit du lit majeur.
  • $S_t$ : volume unitaire d'eau contenu dans l section, mais ne participant pas aux échanges.
  • $q_l$: débit unitaire entrant dans la section.
  • $q_{l,MC}$ : débit unitaire d'échange du lit mineur vers le lit majeur.

NB : L'abréviation MC renvoie à "Main Channel" (lit mineur) et l'abréviation FP renvoie à "Flood Plain" (lit majeur).
 

  1. Équation de conservation de la quantité de mouvement en régime transitoire [4]

Lit mineur : $\frac{\partial{Q_{MC}}}{\partial{t}} + \frac{\partial{(V_{MC} Q_{MC})}}{\partial{x_{MC}}}= M_{l,FP} - gS_{MC} (\frac{\partial{z}}{\partial{x_{MC}}}+S_{f,MC}+S_{h,MC})$

  • $Q_{MC}$ : débit du lit mineur.
  • $V_{MC}$ : vitesse dans le lit mineur.
  • $M_{l,FP}$ : flux unitaire de quantité de mouvement d'échange latéral.
  • $S_{MC}$ : section en travers de l'écoulement.
  • $S_{h,MC}$: pente des pertes de charge singulières liées aux obstacles.

Lit majeur : $\frac{\partial{Q_{FP}}}{\partial{t}} + \frac{\partial{(V_{FP} Q_{FP})}}{\partial{x_{FP}}}= M_{l,MC} - gS_{FP} (\frac{\partial{z}}{\partial{x_{FP}}}+S_{f,FP}+S_{h,FP})$

  • $Q_{FP}$ : débit du lit majeur.
  • $V_{FP}$ : vitesse dans le lit majeur.
  • $M_{l,MC}$ : flux unitaire de quantité de mouvement d'échange latéral.
  • $S_{FP}$ : section en travers de l'écoulement.
  • $S_{h,FP}$: pente des pertes de charge singulières liées aux obstacles.