Ecoulement dans une nappe libre

Écoulement dans une nappe libre

Analyse physique et simplifications

Nous allons maintenant étudier l'écoulement du polluant depuis le haut de la nappe phréatique jusqu'à la rivière, l'objectif étant de déterminer le temps de parcours du polluant. Nous utiliserons pour cela à nouveau l'outil Comsol.

Nous effectuons les hypothèse que l'écoulement de la nappe s'effectue vers la rivière, perpendiculairement au sens de l'écoulement, ce qui constitue une forte approximation, et que le gradient hydraulique va du point de fuite vers la rivière.

De la même manière que dans la partie "Etude d'une fuite de liquide injecté depuis le puits de forage vers les sous-sols environnants, nous allons tout d'abord calculer l'écoulement de l'eau dans la nappe, sans polluant.

Dans notre cas de l'aquifère libre, la hauteur d'eau dépend de la position le long de la ligne de flux, et il est difficile de calculer la distribution des vitesses de Darcy en fonction de la positif. Pour un modèle quantitatif simple, on peut utiliser l'approximation de Dupuit : on fait l'hypothèse que la vitesse est horizontale et constante le long d'une ligne verticale et est donnée par le gradient hydraulique réelle de la nappe étudiée :

$$ u=-K \frac{dh}{dx} $$

On considère donc la percolation à travers ce milieu poreux de longueur $L$ et de conductivité $K$. Le niveau d'eau est $h_0$ sur la face d'entrée de l'eau et $h_L<h_0$ sur la face de sortie.

Par conservation du débit, dans l'approximation de Dupuit, on a :

$$q=-Kh \frac{dh}{dx}=cst $$

Après intégration, nous obtenons :

$$h(x)=\sqrt{h_0^2-\frac{2q}{K}x} $$

Nous pouvons donc établir le profil de vitesse et de hauteur d'eau en connaissant le gradient hydraulique de la zone étudié.

Après avoir utilisé l'approximation de Dupuit et calculer le champ de vitesses au sein de l'aquifère, nous utilisons l'équation d'advection-dispersion (diffusion moléculaire & dispersion cinématique) du polluant au sein d'un milieu poreux. Cette équation est donnée par :

$$\frac{\partial \epsilon c}{\partial t} = - \vec{v} . \nabla c + \Delta . (D \epsilon \Delta c) $$

avec $\epsilon = 0.3$ la porosité du milieu poreux, $c=0.01 \ mol/m^3$ la concentration en polluant, et $D=10^{-10}\ m/s$ le coefficient de dispersion.

 

Simulations

Nous utilisons donc comme précédemment d'abord sous Comsol un module de diffusion pour établir le champ de pression, puis un module d'advection - diffusion pour établir le champ de concentration.

Géométrie et maillage de la zone d'étude

Nous avons donc : $L=30\ m$ , $K=10^{-4}\ m/s $ , $h_0=10.64 \ m$ , $h_L=30 \ m$, et $l=1 \ m $.

Les conditions aux limites pour la pression sont les suivantes :

- pression de $10.36e^5 Pa$ en entrée

- pression de $10e^5 Pa$ en sortie

- conditions d'isolation / symétrie sur les domaines inférieurs et supérieurs

- condition de continuité à l'intérieur du milieu poreux

 

Les conditions aux limites pour la concentration sont les suivantes :

- concentration nulle en entrée

- flux convectif en sortie

- conditions d'isolation / symétrie sur les domaines inférieurs et supérieurs

- condition de continuité à l'intérieur du milieu poreux

Nous introduisons une concentration en polluant constante au niveau du trait $l$.

 

Résultats

Voici les résultats de la simulation obtenu sous comsol jusqu'à un temps final de 140 secondes.

On note ici un fort écart entre le temps de diffusion depuis la surface vers la nappe phréatique, et de la nappe phréatique vers la rivière. Cela peut s'expliquer par les choix de paramètres d'étude fait dans la première partie, avec des valeurs de taux de saturation, et de charge au front très approximatives.