Etude de la résistance de la structure (casing et tubing)

Toute structure doit être suffisamment résistante pour supporter les charges auxquelles elle sera soumise au cours de sa durée de vie. Les critères de résistance sont toujours basés sur les contraintes. En effet, à partir d’essais sur les matériaux, on déduit les valeurs limites à ne pas dépasser.

Dans cette étude de la résistance de la structure, nous allons résoudre un problème 2D, étant donné que nous avons une invariance par rotation par rapport à l’axe Z. 

1) Quantification des contraintes appliquées sur notre structure:

Avant d’entamer la partie résistance de la structure et la validation des dimensions, il faut tout d’abord déterminer les différentes contraintes appliquées sur notre structure (casing et tuyau de production) 

Tenseur de contrainte 2D pour la facette XY :

Pour une facette XY et en un point O, nous avons la matrice de contrainte suivante :

           

 

Avec :

         $\sigma_{xx}$ : contrainte normale qui représente la composante selon l’axe x de la contrainte agissante sur la facette normale à x

         $\sigma_{yy}$ : contrainte normale qui représente la composante selon l’axe x de la contrainte agissante sur la facette normale à y

         $\sigma_{xy}$( ou $\tau_{xy}$) et  $\sigma_{yx}$( ou $\tau_{yx}$) : la contrainte tangentielle qui représente la composante selon l’axe y(ou x) de la contrainte agissante sur la facette normale à x ( ou y )

Dans notre cas, nous supposons que notre casing ou tuyau de production est une poutre  d’axe Y pour quantifier les efforts agissants sur la  structure.

Donc, pour estimer les contraintes appliquées sur notre structure, il faut quantifier l’effort normal à partir de $\sigma_{yy}$, et les efforts tangentielles à partir de $\sigma_{xy}$ .

Pour le cas d’une poutre d’axe Y, nous avons $\sigma_{xx}$ = 0

Une brève présentation de la norme européenne de conception EUROCODE3 :

Les structures que nous allons étudiées sont des structures en acier, et comme l’EUROCODOE 3 définit les principes de calcul des structures en acier, nous allons les utiliser pour vérifier la résistance de casing et de tuyau de production.

L’EUROCODE 3 s’applique au calcul des bâtiments et des ouvrages de génie civil en acier. II est conforme aux principes et exigences concernant la sécurité et l'aptitude au service des structures, les bases de leur calcul et leur vérification qui sont données dans l'EN 1990.

2) Vérification de la résistance des casings:

Résistance des casings à l’effort normal suivant l’axe Y selon l’EUROCODE 3 :

Les casings doivent résister à deux contraintes :

  • Écrasement ou compression
  • Flambement

La longueur utilisée pour chaque casing ou cuvelage selon la norme API est égale à 15 mètres.

A partir de L’ EUROCODEC 3, la valeur de calcul de l’effort de compression Ned dans chaque section transversale doit satisfaire la condition suivante :

$N \big< N_{pl,Rd}=\frac{A f_{y}}{\gamma_{M0}} $

Avec :

$N_{pl,Rd}$ est la valeur de calcul de la résistance plastique de la section transversale, A est l’aire de la section transversale, $f_{y}$ est la limite élastique du matériau et$ \gamma_{M0}$ est le coefficient partiel de sécurité portant sur la résistance mécanique du matériau caractérisée par sa limite élastique. Ce coefficient peut actuellement être pris égal à 1.

Pour cette partie, nous faisons un exemple de calcul pour le premier casing qui est caractérisé par un diamètre de 30’’( 0.762 m) et une épaisseur de 7.9mm.

Nous avons choisi H 40 comme grade d’acier, qui est caractérisé par une limite élastique minimale égale à 276 MPa.

$N_{pl,Rd}=\frac{\Pi(R_{1}^{2}-R_{2}^{2}) f_{y}}{\gamma_{M0}}$= $20700  10^{3} Newtons$

Il ne faut pas que N dépasse $20700  10^{3} Newtons $ pour avoir un casing qui résiste bien à la traction-compression (écrasement).

Les forces de compression appliquées sur les casings sont engendrées par le poids propre de la structure.

$N= M g = \rho h A g =8000*15*0.075*10= 90000 Newtons$

L'inégalité suivante $N \big< N_{pl,Rd}$ est bien validé ,nous concluons donc que notre casing résiste bien à l'écrasement ( compression).

Idem pour le casing 2,3 et 4, ci-dessous un tableau récapitulatif  dans lequel nous avons étudié la résistance de tout les casings utilisés dans notre ouvrage.

Tableau des contraintes

Résistance des casings au flambement selon l’EUROCODE 3 :

Nous allons maintenant appliquer l’algorithme ci-dessous pour vérifier la résistance de casing au flambement.

Pour que notre casing résiste au flambement, il ne faut pas appliquer un effort axial N supérieur à$ N_{R}$ qu’on va le calculer maintenant.

 

Algorithme de détermination de flambement

Le flambement est le mode de ruine prépondérant et le plus dangereux des composants comprimés. Il se traduit par déformation de flexion brutale du composant à partir d’un niveau donnée de l’effort de compression.

Une barre comprimée doit donc être vérifiée vis-à-vis du flambement de la façon suivante :

Calcul de l’élancement réduit $\bar{\lambda}$ qui est égal à $\lambda$ / $\lambda1$.

Avec :   $\lambda$= $L_{cr}$/i ($ L_{cr}$ : longueur de flambement dans le plan considéré, i=( I/A)^0.5 :rayon de giration par rapport à l’axe approprié , déterminé en utilisant les propriétés de section transversale brute )

$\lambda1 = \pi*\sqrt {\frac{E}{f_{y}}}$

Avec :

E: module de Young de l'acier qui est égal à 210 GPa

${f_{y}}$: limite élastique du matériau

Application numérique:

$L_{cr}=0.5* L_{0}=0.5*15=7.5 m$ ( pour une structure bi-encastré)

$i=\sqrt \frac {I}{A}$

Pour une section annulaire, le moment quadratique est égal à:

$I_{x}=I_{y}=\frac{\pi*( D_{1}^{4}-D_{2}^{4})}{64}=134 10^{-5} m^{4}$ et $A=0.075 m²$

$i=0.133m$

$\lambda=\frac{L_{cr}}{i}=56.39$

$\lambda_{1}= 86.61$

$\bar{\lambda}=\frac{ \lambda}{ \lambda1}=0.65 $

Avec ces configurations, nous avons un risque de flambement simple puisque $\bar{\lambda}$ est supérieur à 0.2.

L’étape suivante consiste à calculer  X :

Avec:

$\alpha$ : facteur d'imperfection qui est égal à 0.21

Application numérique :

$\phi=0.758 $

$X=0.871$

Dans le cas où $\beta_{a}=1$ et $\gamma_{M1}=1.1$(Coefficient partiel de sécurité de résistance des éléments aux instabilités), nous avons d'après l'algorithme ci-dessus:

$N_{r}=16'390'636 Newtons$ et $N=M*g=90'000 Newtons$

il est clair que la valeur de Nr est beaucoup plus grande que N, nous concluons donc que le casing résiste bien au flambement. 

3) Vérification de la résistance du tuyau de production ou tubing:

Le tuyau doit résister aux 3 efforts :

  • Compression
  • Hydrostatique
  • Litho-statique

La longueur totale du tube de production et de 5000m (4000m puits vertical et 1000m puits horizontal). Ce tube est constitué par des conduites de 15 m chacune, et à partir de la norme américaine API nous avons choisi un diamètre égal à 7’’ (0.177m) avec une épaisseur de 0.0079 m.

Nous allons maintenant quantifier les contraintes appliquées sur le tube de production et vérifier sa résistance à partir les dimensions évoquées ci-dessus

 

Vérification de la résistance du tube de production aux efforts normales suivant l’axe Y selon l’EUROCODE 3 :

Vérification de la résistance du tube de production aux efforts tangentiels selon l’EUROCODE 3 :

En plus des forces de compressions, le tuyau de production est exposé aux efforts tranchants engendrés par la force hydrostatique et litho-statique.

Il faut quantifier maintenant  la contrainte $\sigma_{xy}$ appliquée sur le tuyau et vérifier la résistance de ce dernier.

Pour vérifier la résistance de tuyau aux forces hydrostatique et litho-statique, il faut que l’effort tranchant soit inférieur à celui résistant.

Effort résistant : $V_{pl}=\frac {f_{y}*A_{v}}{\sqrt{3}*\gamma_{M0}}$

Avec :

    Av : Aire de cisaillement selon l'EUROCODE3

Calcul des contraintes de cisaillement:

Selon EUROCODE3, pour un profil creux circulaire et tube d’épaisseur uniforme, nous avons Av  = 0.6 A (A:aire de la section transversale)

  • Efforts tranchants résistants :

$V_{pl}=\frac {f_{y}*A_{v}}{\sqrt{3}*\gamma_{M0}}=159.667  10^{3}$

  • Efforts tranchants appliqués sur le tuyau de production : 

-P1: Pression Hydrostatique 

​-P0:Pression Lithostaitique 

Nous avons:

P0= 60 MPa (pression nécessaire pour la fracturation hydraulique) 

P1= rho*g*h= 2850*10*4000=114 MPa

Avec 2850 la masse volumique maximale du sol.

La pression appliquée sur notre structure est égale à P2-P1= 54 MPa

La section cisaillée vaut : 0.00167 m²

V= (P1-P0) * section cisaillée = 54*10^6*0.00167= 90.18*103 Newtons

Le tuyau de production résiste bien aux forces litho-statique et hydrostatiques puisque V <Vpl.


Bibliographie

J.P. Nguyen, Technique d'exploitations pétrolières : le forage, Institut Français du pétrole

Jaques Brozzetti, Eurocode 3 calcul des structures en acier