Mise en équations du problème d'écoulement de nappe au sein de la digue

Références de l'étude :

Pour réaliser notre étude de la digue, nous avons du nous confronter à plusieurs repères selon l'axe vertical. Le zéro hydrographique correspond au niveau des plus basses mers astronomiques, c'est environ le niveau d'eau lorsque la marée est à son plus bas et il est utilisé comme niveau de de référence pour la cartographie marine. Le zéro NGF est le niveau de référence altimétrique commun à toute la France, utilisé pour la cartographie terrestre.

Ces deux zéros de référence sont différents localement. Le tableau suivant provient du site internet du SHOM (Service Hydrographique et Océanographique de la Marine) et nous permet d'obtenir avec précision ces références sur notre lieu d'étude :

 

La première partie du tableau nous renseigne le niveau moyen des eaux à Cayeux-sur-Mer par rapport au zéro hydrographique:

$NM_{réf} = 05.49 m$

La deuxième partie nous donne la position du zéro hydrographique par rapport au zéro de référence altimétrique (0m NGF):

$Zéro_{hydro}=Zéro_{réf alti} + 4.388 m$

On en déduit la position du niveau moyen de la mer à Cayeux sur mer par rapport au zéro de référence altimétrique:

$NM = +1.1m NGF$

 

♦ Hypothèses de travail :

Pour mettre en équation notre problème, nous allons faire les hypothèses suivantes:

- la loi de Darcy est applicable

- gradients de charge hydraulique faibles. On peut donc appliquer l'hypothèse de Dupuy :

• les vitesses verticales sont supposées nulles

• profil vertical de vitesse supposé uniforme

- pas d'effet de capillarité

- surface libre et surface piezométrique égales

 

 

♦ Équations du problème :

- la loi de Darcy intégrées verticalement

$\vec Q=-T(h)\vec {grad} (H)$

- l'équation de conservation de la masse

$\displaystyle {C\ \frac{\partial H}{\partial t}=-div(\vec Q)}$

avec $\displaystyle {\begin{cases} T(h)=K\;h \text{    la transmissivité} \\ C={1 \over 2} \;\epsilon \text{     la capacité d'emmagasinement} \\ \epsilon \text{  la porosité} \end{cases}}$

A partir de ces deux équations, nous obtenons l'équation conservative de la charge de Dupuit-Boussinesq :

$\displaystyle {C\ \frac{\partial H}{\partial t}=div(T(h)\vec {grad}(H))}$

Que nous pouvons reécrire sous la forme :        $\displaystyle {\frac C{K\,H} \frac{\partial H}{\partial t}=\Delta H}$

Nous savons que la charge hydraulique peut s'écrire : $H=h+z_0$ avec $z_0$ la côte du fond que l'on fixe au zéro hydrographique (-3.9m NGF).

On obtient donc l'équation finale de DUPUIT-BOUSSINESQ 1D temporel, donnant la hauteur de la surface libre h:    

$\displaystyle {\frac {\epsilon}{2\,K}\frac {1}{h} \frac{\partial h}{\partial t}=\frac {{\partial \;}^2 h}{{\partial x}^2}}$

 

 

Vitesses et débits :

Après avoir calculé les hauteur de la nappe d'eau en fonction de l'espace et du temps, nous allons utiliser l'équation de Darcy 1D pour calculer les vitesses et les débits au sein de la digue :

$\displaystyle {U=-K \frac {\partial H}{\partial x}}$    (U : vitesses de Darcy)

En utilisant la relation $H = h + z_0$ et en considérant des perméabilités moyennées sur la hauteur d'eau, on peut relier directement les hauteurs d'eau aux vitesses :

$\displaystyle {U=-K_{moy} \frac {\partial h}{\partial x}}$

Ainsi que les débits surfaciques: $\displaystyle {Q=Uh}$

 


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