Détermination de la pression de l'eau

Hypothèse d'étude

 

La fracturation hydraulique nécessite la création de fissure afin de faciliter le déplacement du gaz. Elle s'effectue en deux grandes étapes: Premièrement le tube horizontal est séparé en 10 sections de 100 m. Ces dix sections sont traitées les une après les autres de manière indépendante. Tout d'abord chaque section est isolée des autres, cette étape est nécessaire afin de permettre la jonction d'un tube creux munis d'explosifs. Cette explosion crée le réseau de fissure nécessaire pour permettre à l'eau mélangée avec du sable de renforcer et de consolider les fissures ainsi créées. Pour connaître la pression nécessaire que l'eau doit avoir pour pouvoir remplir ce rôle, il faut s'intéresser à la résistance de la roche aux efforts. Il y a trois modes d'aggrandissement des fractures : par cisaillement, par torsion et ensuite par ouverture qui correspond à l'élargissement orthogonal de la fracture. Dans notre cas, on  ne considère que le dernier puisque c'est celui qui va être mis en oeuvre par la fracturation hydraulique.

La pression que le fluide doit avoir doit permettre de casser la roche et empêcher la fermeture immédiate. Une étude menée par Hubbert and Willis a estimé que la pression de l'eau nécessaire peut être estimée par la formule suivante. $ P_{eau}=\frac{dP}{dz}* Profondeur $ avec $\frac{dP}{dz}=0.14~bar/m$ . Ainsi la pression que l'eau doit avoir en profondeur au minimum 600 bar.

 

Le but est à présent de connaître la pression que les pompes doivent fournir pour pouvoir atteindre une telle pression à l'extrémité du tuyau. Il faut donc estimer l'évolution de la pression le long de la conduite. Pour cela on utilise le théorème de Bernoulli

$$P+\rho*g*z+\frac {1}{2} u^2=constante-\Delta P$$ avec $P$ la pression de l'eau ; $\rho$ la fraction volumique de l'eau; $g$ l'accélération gravitationnelle; $ z$ la profondeur; $u$ la vitesse de l'eau et $\Delta P$ les perte de charge

La première étape a été la détermination de la vitesse au sein de la conduite. La connaissance exacte de cette variable n'est pas possible puisqu'elle dépend de l'intervalle d'ouverture de nouvelle fracture. Pour effectuer le calcul une valeur moyenne a été prise. Cette hypothèse peut être validée par un bilan de matière, il y a conservation de la masse et le fluide est considéré comme incompressible. On a donc :

$$Q=S*u=constante$$ avec $Q$ le débit; $S$ la section transversale du tuyau et $u$ la vitesse moyenne d'une section

De ce fait si la section en entrée et sortie du domaine est supposée identique, alors la vitesse est constante dans le tuyau. Cependant on ne peut considérer que les sections sont identiques jusqu'à l'entrée de chaque section. En effet à l'intérieur d'une section, les parois sont trouées ce qui augmentent la section de sortie. L'hypothèse effectuée maximise ainsi les pertes de charges, car elles dépendent de la vitesse au carré, qui se trouve être surestimée dans l'extrémité de la conduite. 

Estimer les pertes de charges s'est avéré être un problème assez complexe. En effet le problème traité est un problème diphasique (mélange eau/sable). Des hypothèses assez fortes ont du être faites pour permettre d'avoir un ordre de grandeur des pertes de pression. Le mélange a été considéré comme un fluide uniforme. Cela revient à considérer que la présence du sable ne possède aucun effet que ce soit sur le frottement du fluide ou sur la création de turbulence. Cette simplification peut être justifiée par la présence d'additif dont le but est d'améliorer la viscosité du fluide. Toutefois pour prendre en compte la présence du sable, on considère que les pertes de charges engendrées sont du même ordre que l'énergie nécessaire au transport de cette quantité de sable.

Détermination du profil de température

Il est nécessaire d'avoir une idée de l'évolution de la température puisque son évolution influe sur la valeur des paramètres physiques. En France le gradient de température est de 3.3°C pour 100 m. La température moyenne à la surface terrestre est de 10°C.

 

Pour estimer la perte de charge, on utilise la formule de Darcy-Weisbach.

$$J=f*\frac{u^2}{2*g*D}$$ De plus $$\Delta P=\frac{J*L}{\rho*g}$$ avec $L$ la longueur considérée

la formule de colebrook a été utilisée pour déterminer le coefficient de frottement $f$.

$$\frac{1}{\sqrt f}=-2 log_{10}(\frac {\epsilon}{3.71*D}+\frac{2.51}{Re*\sqrt{f}})$$

avec $\epsilon = 10^{-4} m$ la rugosité du tube

Le domaine d'utilisation de cette formule est en milieu turbulent. A grand Reynolds, on peut négliger la contribution du terme $\frac{2.51}{Re*\sqrt{f}}$. Le Reynolds est calculé de la manière suivante:

$$Re=\frac{\rho_f*u*D}{\mu}=5.5*10^5$$

avec $\mu=8.9*10^{-4}~ kg. m^{-1}.s^{-1}$ la viscosité dynamique de l'eau, $\rho_f=1072~kg.m^{-3}$ la masse volumique du fluide.

La viscosité de l'eau diminue selon la profondeur puisque la température augmente. Prendre une viscosité à basse température permet de minorer le coefficient de Reynolds et ainsi d'assurer que l'hypothèse est valable sur tout le domaine d'étude.

Estimer la force transmis par le fluide sur le sable correspond à évaluer l'énergie cinétique transmise au fluide. Pour cela, la vitesse de chute a été estimée grâce à la formule suivante. 

$$v_p=\frac{(\rho_p-\rho_f)*g*r^2}{4.5*\mu}$$

 

Cette vitesse de chute augmente avec la température et peut donc être minorée par la vitesse initiale $v_p=1.3~m.s^{-1}$.

La perte d'énergie peut donc être évaluée de la manière suivante sur 1m3 . $$\Delta E=M_s*(v_p^2-u^2)=300 J$$

Cela permet de tracer l'évolution de la pression dans le puits de production.

Evolution de la pression dans la conduite

La pression en entrée du puits a été prise à 330 bars. Cela permet d'obtenir une pression pour l'eau qui vaut 752 bars. Ce sur-dimmensionnement peut être justifié par le fait que des hypothèses très fortes ont dues êtres réalisées pour réussir à modéliser les pertes de charges

 


 

Bibliographie

M King Hubbert, David G.Willis, Mechanic of hydraulic Fracturing,1972

B.Oesterlé, Ecoulements diphasiques, 2006

D. Kondo, Modélisation du comportement des roches par la mécanique linéaire de la rupture

S. Bennis, Hydraulique et hydrologie, PUQ 2009

J. Varet, La géothermie, http://encyclopedie-dd.org/encyclopedie/terre/la-geothermie.html