Ecoulement vertical dans un milieu non saturé

Écoulement vertical en milieu non saturé

Le processus d'infiltration que nous allons étudier est du à une forte modification des conditions de pression et de teneur en eau à la surface du sol, et qui se produit de façon quasi instantanée. Il est conditionnée par diverses facteurs : ceux liés au sol (caractéristiques hydrodynamiques, texture, structure) et ceux liés aux conditions spécifiques du processus (conditions initiales, débit d'alimentation).

L'objectif est de déterminer le temps que met le polluant à atteindre la nappe.

 

Analyse physique et simplifications

Hypothèse

- nous négligeons dans notre étude un terme source (pluie ou drainance)

- la polluant est assimilable à de l'eau de part ses propriétés physico-chimiques semblables

 

En combinant l'équation de conservation de la masse et la loi de Darcy, nous obtenons l'équation de Richards : \[ \frac{\partial \theta} {\partial t } = div(K(\theta) \vec{grad} \, H) \]

avec $H(\theta) = h(\theta)+ z $ où $\theta$ est la teneur en eau (ou liquide dans notre cas), h la charge de pression moyenne, z la profondeur du sol orientée vers le bas, et H la charge totale

 

Ce processus est caractérisé par le flux d'eau pénétrant dans le sol, à savoir le régime d'infiltration i(t). La lame d'eau infiltrée ou infliltration cumulative I(t) est exprimée par :

$$ I(t)=\int_{0}^{t} i(t) \, \mathrm{d}t  \; [m] $$ 

Caractéristiques du profil hydrique au cours d'une infiltration (Source : "Physique du sol" par André Musy et Marc Soutter, ed Presses Polytechniques et Universitaires Romandes, 1991)

Nous voulons donc déterminer le temps de propagation du front jusqu'à la nappe, propagation régie par la loi de Darcy, et donc de Richard, que l'on peut reformuler comme suit :

\[ \frac{\partial \theta} {\partial t } = -\frac{\partial i(t)} {\partial z} = \frac{\partial} {\partial z } (K(\theta) \frac{\partial H} {\partial t }) =  \frac{\partial} {\partial z } (K(\theta) \frac{\partial h} {\partial z }) + \frac{\partial}{\partial z} K(\theta) \]

Cette équation est particulièrement difficile à résoudre, c'est pourquoi nous choisissons d'utiliser l'approche de Green & Ampt.

Ce modèle utilise des hypothèses simplificatrices qui limitent son usage à des sols initialement secs et de texture grossière. Ces hypothèses impliquent alors une schématisation très extrême du processus comme le montre la figure suivante :

Caractéristiques du profil hydrique au cours d'une infiltration réel et avec le modèle de Green & Ampt

On note un front d'humidification très marqué,  une zone de transition où la teneur en eau est constante dans le temps et l'espace.

Avec ces hypothèses, la loi de Darcy nous donne :

\[i(t)=-K \frac{\partial H} {\partial z} = K \frac{H_0 - H
_f(t)}{z_f(t)} = K \frac{h_0 - h_f-z_f(t)}{z_f(t)} \]

La teneur en eau dans la zone de transmission est uniforme, nous avons donc la relation :

$$I(t)=-(\theta_0 - \theta_i) z_f(t) $$

avec $\theta_0$ la teneur en eau imposée en surface et $\theta_i$ la teneur en eau initiale du profil.

Nous obtenons la relation différentielle suivante :

$$i(t)=-(\theta_0 - \theta_i) \frac{\partial z_f(t)}{\partial t} = K\frac{h_0 - h_f-z_f(t)}{z_f(t)}$$

La séparation des variables nous donne :

$$ \frac{z_f(t)}{h_0-h_f-z_f(t)}\partial z_f(t) = \frac {-K}{\theta_0-\theta_i} \partial t $$

Après intégration :

$$ z_f(t) + (h_0 - h_f) ln(1-\frac{z_f(t)}{h_0-h_f}) = \frac {K} {\theta_0-\theta_i} t $$

Nous pouvons donc résoudre cette équation à l'aide d'un simple solveur (ici Matlab) suivant les paramètres choisis.

 

Simulations

Nous souhaitons déterminer la valeur des différents paramètres liés à notre étude, qui dépendent des événements météorologiques antérieurs, des types de sol et du type de pollution accidentelle.

D'après les données du forage n°09381X0121 du BRGM, effectué le 30 juin 2008, le sol étudié est composé de sables, graviers et galets, nous choisissons alors une capacité d'infiltration de $10^{-4} m/s $. Le niveau d'eau mesuré par rapport au sol est de $5.36\ m$. Pour la teneur en eau initiale, nous avons choisi une valeur de $0.1 $, soit une teneur d'un sol sec sans événement pluvieux au préalable. Cette valeur est réaliste mais susceptible d'évoluer en fonction des antécédents météorologiques. Pour la teneur en eau imposée, qui correspond en fait, compte tenu de notre hypothèse, à la teneur en baryum imposée sur un sol sec, nous choisissons une valeur de $0.5 $. En outre, nous supposons que l'accident créé une flaque de polluant de charge de pression de $5\ cm$ et d'alimentation constante.
Nous choisissons une charge de pression au front de $8\ m$.

Paramètres Caractérisation Valeur choisie
Teneur en eau initiale $\theta_i$ Volume relatif de la phase liquide avant l'infiltration $0.01$
Teneur en eau imposée en surface $\theta_0$

Rapport du volume de la phase liquide au volume total du sol imposé dans la zone de saturation, sur une faible épaisseur à la surface

$0.5$
Capacité d'infiltration du sol $K$ Flux maximum que le sol est en mesure d'absorber à travers sa surface, lorsque celle-ci est maintenue en contact avec de l'eau à pression atmosphérique $10^{-4}\ m/s $
Charge de pression au front $h_f$ Charge hydraulique équivalente à la distribution du potentiel de pression au niveau du front d'infiltration $8\ m $
Charge de pression en surface $h_0$ Charge hydraulique équivalente à la distribution du potentiel de pression en surface (hauteur de polluant sur la surface d'infiltration) $0.05\ m $
Profondeur de la nappe $z_f$ Profondeur à laquelle se trouve la nappe à la verticale de la zone d'infiltration du polluant $5.36\ m $
Pas de temps $dt$ Durée d'une boucle de calcul $20\ min $

Résultats

Voici les résultats obtenus à l'aide de Matlab :

Le temps de transfert du polluant depuis la surface vers la nappe phréatique est de l'ordre de 12 heures. On retrouve un profil d'infiltration cohérent avec le terme temporel exponentiel présent dans la solution de Green & Ampt. Cependant ce résultat nous donne seulement un ordre de grandeur puisque la teneur en eau initiale ne prend pas en compte la recharge de la nappe par les précipitations atmosphériques. En outre, nous avons supposer que l'Hydrate de Baryum s'infiltre comme de l'eau. Or il a une densité légèrement supérieure à celle de l'eau, et nous n'avons pas pu prendre en compte sa capacité à se mouvoir dans les sols et les processus de biodégradabilité de part la complexité d'un tel modèle.

 

Le résultat obtenu, de l'ordre d'une demi-journée, nous renseigne sur le temps que met le polluant à s'écouler dans un milieu non-saturé. Après avoir calculé ce temps de transfert du polluant depuis la surface vers la nappe phréatique, nous allons maintenant pouvoir déterminer le temps de transfert depuis le haut de cette nappe vers la rivière située à proximité.

 


Bibliographie

- "Physique du sol" par André Musy et Marc Soutter, ed Presses Polytechniques et Universitaires Romandes, 1991

- http://fr.wikipedia.org/wiki/Teneur_en_eau_%28milieux_poreux%29

- http://ficheinfoterre.brgm.fr/InfoterreFiche/ficheBss.action?id=09381X0121/PZAMON

- http://echo2.epfl.ch/e-drologie/