Equations et implémentation sous R

1. Objectifs de la modélisation et hypothèses utilisées

Les équations choisies pour modéliser les processus sont celles présentées dans le travail de Didier Oudart, Modélisation de la stabilisation de la matière organique et des émissions au cours du compostage d'effluents d'élevage. Ce choix se justifie d'une part par la précision des explications apportées par cette publication et d'autre part par la mise à disposition des valeurs utilisées lors de la réalisation de l'étude.

Les équations proposées, notamment la modélisation de certaines contraintes, ont été adaptées à notre situation dans la mesure possible, à nos contraintes de temps et de moyens.

1.1 Objectifs du modèle

L'objectif premier du modèle est de connaître la quantité de compost à valoriser à la fin du processus et sa qualité (valeur de C/N, quantité de matière organique).

Le modèle doit également permettre de quantifier les émissions polluantes dans l'atmosphère et d'adapter la conduite de la plate-forme de compostage (aération, chauffage de l'air, humidification etc.).

1.2 Hypothèses effectuées

Afin de réaliser un modèle exploitable dans le temps imparti, nous avons choisi d'implémenter un modèle dynamique à 0 dimension afin de modéliser les processus mis en jeu lors du compostage.
Face à la difficulté de modéliser précisément les processus physico-chimiques existant au sein d'un andain, un certain nombre d'hypothèses ont été réalisées :

  • L'andain est considéré comme un ensemble homogène.
    De ce fait, nous ne prenons pas en compte les phénomènes de diffusion du dioxygène ni les hétérogénéités de températures.
    • Le dioxygène est considéré comme apporté en quantité suffisante dans l'ensemble de l'andain
    • L'andain est considéré comme étant dans son ensemble à une température égale à sa température interne Tint. En revanche, la surface de l'andain est considérée égale à la température de l'air extérieur, Ts.
       
  • L'humidité est considérée comme étant de 70%, valeur pour laquelle l'humidité n'inhibe pas l'activité microbienne.
    Pour faciliter la modélisation, nous allons donc considérer l'humidité constante lors du compostage. Par conséquent le modèle ne permet pas de simuler l'évolution de la composition du tas de compost lors de la phase de finition. Toutefois, l'andain est supposé être stable et donc la quantité de matière sèche n'évolue quasiment plus. Nous la considèrerons donc constante. Toutefois, lors de cette phase l'andain va s'assècher et les pertes d'éléments par lixiviation vont continuer. Ces pertes seront a priori assez faibles, le taux d'azote disponible ayant beaucoup diminué au cours du compostage.
    Le modèle permet néanmoins de simuler ce qui se passerait si la phase de finition se déroulait dans les mêmes conditions que la phase de maturation (conditions optimales d'humidité). Cela permet de donner une estimation de l'erreur réalisée lorsqu'on néglige les réactions biochimiques en phase de finition. La composition finale de notre compost sera en effet une situation intermédiaire entre l'état à la fin de la maturation et l'état après une phase de finition à humidité constante à 70%.

     
  • L'ensemble de la microflore  n'est modélisée que par deux populations, les organismes hétérotrophes et les organismes autotrophes.
     
  • La quantité de nitrates dans l'andain n'influe pas sur les émissions azotées. Cette hypothèse ne devrait pas avoir de conséquences sérieuses sur les résultats, puisque contrairement à D.Oudart les lixiviats ne sont pas directement renvoyés dans l'andain mais sont traités avant. L'andain sera donc moins saturé en nitrates que dans l'étude d'Oudart.
     
  • La porosité au sein de l'andain reste constante au cours du processus.
     
  • Contrairement à l'hypothèse de D. Oudart, nous considérons que le débit traversant l'andain est constant et correspond au débit d'aération forcée Q_air.

 

2. Implémentation sous R

Le logiciel a été choisi pour sa gratuité et notre connaissances du logiciel.

2.1 Variables et paramètres

  • Variables d'état utilisées :

Tableau présentant les variables étudiées dans le modèle
 

Les variables avec X correspondent à la matière particulaire. A partir de ces variables, le modèle permet d'avoir accès à l'évolution de la quantité de matière organique en la considérant proportionnelle à la quantité de matière sèche, aux variations de vitesse de consommation du dioxygène (o2/temps), ainsi qu'à l'évolution du rapport C/N (Ctot/Ntot). La quantité de NH4 dans l'andain peut également être connue, car l'azote biodisponible (N_av) est représenté à 90% par l'ammonium.

Le choix des valeurs initiales sera expliqué plus tard lors de la présentation des simulations.

 

  • Paramètres utilisés :

Présentation des paramètres utilisés dans le modèle

 

On considère que la température de l'air extérieur est constante et égale à 25°C. L'air insufflé sera donc à la même température. Cette température correspond à la température moyenne sous le climat réunionnais et devrait donc être atteinte sans chauffage.

La variable b_h est une fonction de la température interne de l'andain : $ b_h =  b_{h,ref}\times1.066^{T_{int}-T_{opt deces}}-1.21^{T_{int}-T_{max}}$ avec $b_{h,ref} = 0.005h^{-1} $

La constante de Henry dépend de la température en surface de l'andain :
$KH=exp(\frac{(160.559-8621.06)}{(T_s+273.15)}-25.6767\times log(T_s+273.15)+0.035388\times(T_s+273.15))$

Les valeurs des paramètres initiaux sont choisies pour la plupart d'après les résultats bibliographiques présentés par Didier Oudart, ou de leurs observations expérimentales en considérant que la valeur des paramètres varie peu entre le compostage d'un mélange boues et déchets verts et celui d'effluents animaux type fumier.

L'aération de 1 m3/tMS/min a été choisie d'après la préconisation de M. Mustin et les informations de Techniques de l'Ingénieur, cités dans la partie dimensionnement.

2.2 Equations du modèle et signification

  • Modélisation de l'évolution de la température

On note dans la sous partie précédente le caractère variable du paramètre T_int. La simulation de l'évolution de température au sein de l'andain est difficile à réaliser. Nous avons donc choisi de simuler cette évolution en attribuant une valeur différente au paramètre T_int en fonction du temps. Si T_int varie au cours de la modélisation, il est bel et bien défini dans R en tant que paramètre.

Pour cela, on exécute le modèle une première fois pour un temps variant de 0 à 3 jours, et une température interne égale à 30°C (température extérieure).
On simule à nouveau le processus de 3 à 21 jours, en définissant une température interne de 60°C. Sur cette deuxième simulation, les variables d'état prennent comme valeurs initiales les valeurs obtenues à la fin de la première simulation.
Selon cette même méthode, on simulera ensuite le processus de 21 à 35 jours avec une température de 35°C. Les paramètres dépendant de T_int sont redéfinis à chaque simulation.

 

  • 2.2.2 Contraintes des paramètres physiques sur le processus de compostage

Le modèle prend en compte différentes contraintes et en néglige d'autres :

  • La limitation de la croissance par la température interne de l'andain, notée flim_T
  • La limitation de la croissance par la concentration en azote disponible notée flim_Nav
  • La limitation de l'hydrolyse rapide par la disponibilité de l'azote notée flim_HydXRB
  • La limitation de l'hydrolyse lente par la surface réactionnelle liée à la DCO notée flim_HydXSB
  • La limitation de la croissance par l'humidité est considérée comme inexistante pour une humidité supérieure ou égale à 70%.
  • On considère de même que la concentration en dioxygène dans le biofilm est suffisante pour ne pas limiter la croissance microbienne en tout point de l'andain

 

  • Principales équations pour la simulation des processus au cours du compostage

Nous présentons ici les équations des principaux paramètres d'intérêt. L'ensemble des équations est disponible dans le rapport de D.Oudart, cité en bibliographie. Attention aux adaptations effectuées sur le modèle mentionnées précédemment.

Croissance de la microflore
Comme expliqué précédemment, l'ensemble des populations d'organismes se développant dans le compost est modélisé en ne distinguant que deux populations : les organismes hétérotrophes et les organismes autotrophes.

Equation de croissance de la population hétérotrophe) :
l'équation de la variation de leur population prend en compte leur développement via la consommation du substrat soluble et leur décès (constante de décès b).

$\frac{dX_h}{dt} = µ_h\times X_h-b_h\times X_h$

Avec $µ_h=µmax \times \frac{S_R}{S_R+K_s}\times flim_{Nav}\times flim_T$
 

Equation de croissance de la population autotrophe) :

$\frac{dX_a}{dt} = µ_a\times X_a-b_a\times X_a$

Avec $µ_a=µ_{a,max} \times flim_{Nav}\times flim_{Tnit}$

 

Dégradation de la matière organique

Dégradation du substrat soluble :
Augmente avec l'hydrolyse des matières rapidement et lentement biodégradable et diminue avec l'activité microbienne hétérotrophe.
$\frac{dS_R}{dt} = k_{HR} \times X_{RB} + k_{HS} \times X_{SB}-\frac{1}{Y_h}\times µ_h \times X_h$

Avec $k_{HR}=k_{HR,ref} \times flim_{HydXRB}$ et $k_{HS}=k_{HS,ref} \times flim_{HydXSB}$

Dégradation de la matière organique rapidement biodégradable
Diminue avec l'hydrolyse chimique (hydrolyse rapide) et augmente avec le décès microbien.
En effet, Lorsqu'une bactérie décède une partie devient de la matière organique inerte, une autre de la matière rapidement biodégradable. La répartition se fait à hauteur de faero=20% se transforme en matière inerte. on a donc :
$\frac{dX_{RB}}{dt} = - k_{HR} \times X_{RB} + (1-f_{aero}) \times b_h \times X_h$

 

Dégradation de la matière lentement biodégradable
Diminue avec l'hydrolyse lente
$\frac{dX_{SB}}{dt} = - k_{HS} \times X_{SB}$

 

Evolution de la matière inerte
La quantité de matière inerte n'augmente qu'avec le décès microbien. Les substances humiques ne font pas partie de cette fraction.
$\frac{dX_I}{dt} = f_{aero} \times b_h \times X_h$

Bilan sur l'eau
Le bilan sur l'eau se fait en négligeant l'eau perdu par lixiviation, celle-ci étant restituée à l'andain par arrosage après traitement. Le bilan d'eau dépend de la croissance des hétérotrophes, il est obtenu en soustrayant la quantité d'eau vaporisée à l'eau métabolique produite (terme en bleu). Cette quantité se calcule à partir de la production de chaleur biologique (en rouge), de la chaleur latente de vaporisation (Lv) et le paramètre partLat qui détermine la proportion de chaleur latente produite par rapport à la chaleur biologique totale produite (en tenant compte de la capacité de l'andain à retenir l'eau).

$ \frac{dH_2O_{tot}}{dt} = {(\color{blue}{\frac{Y_{H_2O_h}}{Y_h}} - \frac{partLat \times \color{red}{ Hc_{O_2}}}{Lv} \times \color{red}{ \frac{1-Y_h}{Y_h}})\times µ_h \times X_h} $
 

Evolution rapport C/N
Le rapport C/N évolue selon l'évolution de la quantité de carbone totale Ctot et d'azote Ntot.

Evolution de la quantité de carbone totale :
La masse de carbone dépend de la production de CO2 par la population hétérotrophe.
$\frac{dC_{tot}}{dt} = (- \frac{Y_{CO_2}}{Y_h} \times \frac{M_c}{M_{CO_2}}) \times µ_h \times X_h$

Avec MC et $M_{CO_2}$ les masses molaires du carbone et du dioxyde de carbone
 

Evolution de la quantité d'azote totale :
L'azote est consommé lors de la croissance autotrophe (terme en bleu). De plus, le compost connait des pertes d'azote via la volatilisation ammoniacale (pertes de NH3, terme en vert) et la dénitrification qui émet du diazote dans l'air (terme en rouge).

$ \frac{dN_{tot}}{dt} = {\color{blue}{(-Y_{NO_3} \times pN_2O_{nit}-(1-pN_2O_{denit})) \times µ_a \times X_a}}\\ {- \color{green}{\frac{Q_{air}}{V_{tot}\times p_{vide} \times Rho_{air sec}} \times \frac{KH\times pIntLG}{Rgp \times T_S} \times 0.9 N_{av}}}\\ \times {\color{red}{pN_2O_{denit} \times NO_3 \times flim_{T,denit}}} $
 
Avec Nav la quantité d'azote biodisponible (majoritairement sous forme de NH4+, d'où NH4+ = 0.9 Nav) qui évolue en fonction de :

  • l'hydrolyse rapide de l'azote contenu dans la matière rapidement biodégradable
  • l'hydrolyse lente de l'azote contenu dans la matière lentement biodégradable
  • La croissance hétérotrophe
  • La croissance autotrophe
  • La volatilisation ammoniacale

Evolution de la quantité de matière sèche (MStot)
Le bilan de matière sèche suit la logique suivante :
$ \frac{dMS_{tot}}{dt} =  \frac{dC_{tot}}{dt} - \frac{Y_{H_2O_h}}{Y_h} + \frac{dN_{tot}}{dt} $

Ainsi, le taux de matière sèche prend en compte la diminution du carbone dû à l'activité microbienne hétérotrophes et la quantité d'eau produite par ces mêmes organismes.

Evolution de la quantité de matière sèche (MB)
Nous avons modélisé cette évolution de manière différente de Oudart. Considérant que l'humidité reste constante à 70%, l'évolution de la matière brute ne dépend que de l'évolution de la matière sèche.

Or on a $ MB = MS_{tot} + M_{eau dans l'andain}$ et $M_{eau dans l'andain} = 0.7/0.3 \times MS_{tot}$ pour une humidité de 70%. 0.7/0.3 = 2.3. On a donc $ MB = 3.3 \times MS_{tot} $, d'où :

$ \frac{dMB}{dt}  = 3.3 \times \frac{dMS_{tot}}{dt} $

Nous pouvons ensuite déterminer le volume total, en considérant une porosité de l'andain stable de 30%

Emissions gazeuses dans l'atmosphère
Nous nous intéressons essentiellement aux émissions de NH3, celles-ci étant les plus importantes.

Comme expliqué précédemment, l'émission de NH3 est simulée par l'équation suivante :
$\frac{dNH_3}{dt} = {\color{green}{\frac{Q_{air}}{V_{tot}\times p_{vide} \times Rho_{air sec}}}} \times {\color{blue}{\frac{KH\times pIntLG}{Rgp \times T_S} \times 0.9 N_{av}}} $

Le terme en bleu représente la quantité de NH3 dans la phase gazeuse de l'andain, le terme en vert permet de prendre en compte le débit d'air expliquant l'émission de NH3 dans l'air.

Les équations différentielles sont résolue grâce à la fonction lsode de la librairie DeSolve.

Bibliographie

Oudart D., Modélisation de la stabilisation de la matière organique et des émissions gazeuses au cours du compostage d'effluents d'élevage, 2014