Étude statistique uni-variée des débits de crue du Salat sur 17 ans

Données pour l'étude statistique

Pour l'analyse des crues, nous avons utilisé la station hydrométrique Salat à Seix (O0342510) qui est la station la plus proche et donc la plus représentative. On a récupéré dans un premier temps les débits journaliers maximum de chaque année sur une période de 17 ans. Ces débits de crue sont présentés au sein du tableau et graphique suivants.

Année 1920 1921 1922 1923 1924 1925 1926 1927 1928 1929 1930 1931 1932 1933 1934 1935 1936
Débit (m3/s) 50.2 50.2 45.5 41.5 45.5 37.5 33.6 55.0 89.0 70.7 118.0 102.0 95.5 45.5 29.7 45.5 65.0

- Débits de crue de 1920 à 1936 -

Avec ces données sur 17 ans, nous allons mettre en application une loi de probabilité uni-variée: la loi de Gumbel, afin d'estimer les crues décennales, 20-ennales et voire centennales.

 

Moments empiriques

Pour calculer la loi de probabilité, il est nécessaire de calculer deux moments empiriques: la moyenne et l'écart type.

Moyenne: $ \mu = \frac{1}{n} \sum Q_i $ avec $i$ l'année et $Q_i$ le débit de crue de l'année $i$

Ecart type: $ \sigma _Q = \sqrt{\frac{1}{n} \sum (Q_i - \mu )^2} $ avec $n$ le nombre d'année

 

Loi de Gumbel: loi double exponentielle

Nous avons vu en bureau d'étude lors de notre formation à l'ENSEEIHT [1.1] que le meilleur ajustement pour pouvoir calculer des temps de retour de crue est la loi de Gumbel par rapport à la loi Normale.

Nous utiliserons donc la loi de Gumbel. Cette loi est utilisée pour prévoir le niveau des crues à partir des données de débits annuels; ou encore pour prédire la probabilité d'un événement critique, comme une crue de temps de retour 50 ans.

La fonction de répartition (FdR) de cette loi a pour formule :

$FdR_{Gumbel} = e^{-e^{-u}}$ avec la variable réduite $u=a(q-q_0)$

Les paramètres $a$ et $q_0$ de la loi de Gumbel ont pour expression: $a=\frac{\pi}{\sqrt{6}\sigma _Q}$ et $q_0 = \mu - \frac{0.577}{a}$.

 

On obtient les valeurs suivantes pour les moments empiriques ainsi que pour les paramètres de la loi de Gumbel.

$\mu$ $59,99~m^3/s$
$\sigma _{Q}$ $26,09~m^3/s$
$a$ $4,92.10^{-2}~s/m^3$
$q_0$ $48,26~m^3/s$

 

On peut alors comparer la fonction de répartition de la loi de Gumbel par rapport à la fonction de répartition empirique estimée par un histogramme de fréquences cumulées. Le graphe suivant présente cette comparaison.

- Fonction de répartition -

 

Estimation de débits de crue Tr-ennales

Pour calculer les débits de crue $Q_{Tr}$ de temps de retour Tr, il est possible d'exploiter la fonction de répartition empirique ou de la loi de Gumbel. Une crue de temps de retour Tr est une crue qui a une chance sur Tr de se produire.

Pour ce faire, trois méthodes sont possibles :

  • interpolation de la FdR empirique,
  • interpolation de la FdR ajustée,
  • extrapolation de la FdR ajustée.

Nous voulons avec l'aide de ces trois méthodes déterminer les crues de temps de retour 2, 5, 10, 20 et 100 ans. Lorsque la FdR des crues appartient aux données, nous utiliserons les deux méthodes d'interpolation. Si la FdR n'est pas dans la plage de données, nous procéderons par extrapolation. L'interpolation de la FdR empirique revient à utiliser les données, l'interpolation de la FdR ajustée utilise la courbe calculée à l'aide de la loi de Gumbel.

Remarque: il n'est pas possible d'extrapoler une FdR empirique, car il est impossible d'extrapoler des données.

Le débit de crue pour un temps de retour Tr peut être déterminé à l'aide de la formule suivante utilisant les variables $a$ et $q_0$ de la loi de Gumbel :

$q_{Tr} = q_0 - \frac{1}{a} ln(-ln(1-\frac{1}{Tr}))$

Cette formule nous permet d'obtenir les débits des crues de retour pour la loi de Gumbel que nous comparerons avec la FdR empirique.

  • Avec la FdR empirique, pour une meilleure précision, nous avons utilisé l'estimation par points (méthode de Hazen). On obtient alors les valeurs suivantes pour les différents temps de retour de crue:

- Fonction de répartition empirique, estimation des débits de crue -

  • En interpolant avec la FdR ajustée, on obtient les valeurs suivantes pour les différents temps de retour de crue.

- Fonction de répartition ajustée, estimation des débits de crue -

Les valeurs des débits pour chacun des temps de retour sont regroupées dans le tableau suivant.

Temps de retour de la crue Débits
FdR empirique FdR ajustée
2 ans $50,2~m^3/s$ $55,71~m^3/s$
5 ans $89,65~m^3/s$ $78,77~m^3/s$
10 ans $100,7~m^3/s$ $94,03~m^3/s$
20 ans $112,4~m^3/s$ $108,68~m^3/s$
100 ans #### $141,83~m^3/s$

On observe un écart de 8% en moyenne entre la fonction de répartition empirique et celle ajustée par la loi de Gumbel. Cet écart de 8% reste faible ce qui permet de valider l'utilisation de loi de Gumbel pour cette étude statistique uni-variée des débits de crue du Salat. Les données que nous possédons sur la période de 17 ans, nous permettent donc de bien estimer les crues de faible temps de retour.

 

Étude des crues historiques

Sur les données accessibles de la station hydrométrique à Seix, de 1920 à 1936, nous disposons donc de certains débits lors d'événements de crue. Nous étudierons notamment 3 crues correspondant à des temps de retour caractéristiques. Les données disponibles sont sous forme de débit moyen journalier, nous avons donc interpolé ces valeurs.

Années Débit maximum Type de crue
1920 $50,3~m^3/s$ Crue de Tr ≈ 2 ans
1928 90.2$90,2~m^3/s$ Crue de Tr ≈ 10 ans
1930 $118,2~m^3/s$ Crue de Tr ≈ 20 ans

Les trois hydrogrammes peuvent être superposés comme suit afin d'être comparés.

- Hydrogrammes de crues -

La crue d'octobre 1930 est la plus grosse crue ayant eu lieu pendant la période des données disponibles.

- Crue d'octobre 1930 -

Le temps de montée des eaux pour la crue de 1930 est d'environ 57 heures, soit 2 jours et demi. Plus la crue est importante, plus le temps de montée est grand.

Ces résultats caractérisent les différents événements de crue pouvant se manifester sur le Salat à 3.5 km en aval du Pont de la Taule. La crue de 1930 sera également utilisé dans la partie Détermination des hauteurs d'eau afin de déterminer la variation de la hauteur d'eau en période de hautes eaux.