2.2 Dimensionnement des éléments de l'ouvrage


1. Méthode de dimensionnement
2. Dimensionnement de la carapace
3. Dimensionnement de la butée de pied
4. Dimensionnement de la sous-couche
5. Dimensionnement du talus arrière
6. Contre-épi final

1. Méthode de dimensionnement

    Pour dimensionner le contre-épi, nous utilisons un critère de stabilité hydraulique. Le but principal du dimensionnement d'un aménagement est d'éviter tout mouvement de blocs d'enrochements au sein de celui-ci. Des formules de stabilité sont développées pour chaque élément de l'ouvrage, et des nombres adimensionnels sont mis en avant en fonction de la méthode choisie. Voici un ensemble de méthodes proposées par le Rock Manual :

Différentes méthodes de dimensionnement pour assurer la stabilité des ouvrages (Source : Rock Manual)

    Dans notre cas, le concept de la hauteur de houle est adapté pour dimensionner la carapace en enrochements naturels. Il sera utilisé également pour évaluer les dimensions optimales de la butée de pied.

    Le paramètre adimensionnel permettant de relier l'action de l'attaque de houle aux dimensions et caractéristiques de l'ouvrage est appelé "nombre de stabilité $N_s$". Son expression est la suivante :

$$ N_s = \frac{H_s}{\Delta D} $$

Avec :

  • $H_s$ : la hauteur de houle significative (généralement) (m)
  • $\Delta$ : la densité relative déjaugée (adimensionnelle) ($\Delta = \frac{\rho_r - \rho_w}{\rho_w}$)
  • $\rho_r$ : masse volumique apparente de la roche ($kg/m^3$)
  • $\rho_w$ : masse volumique de l'eau ($kg/m^3$)
  • $D$ : diamètre caractéristique (m) de l'élément considéré (généralement le diamètre nominal médian est utilisé $D_{n50}$)
  • $D_{n50}$ : diamètre nominal médian ($D_{n50} = \left\{\frac{M_{50}}{\rho_r}\right\}^{1/3}$)
  • $M_{50}$ : masse médiane d'un bloc (kg)

    Ce critère de stabilité est associée à une valeur qui définit le seuil d'instabilité (mise en mouvement). En pratique, d'autres valeurs fondamentales $x$ sont répertoriées pour caractériser le niveau de dommage acceptable sur l'ouvrage considéré.
Si $N_s < x$ la stabilité est assurée avec un niveau de dommage estimé.

    En fonction de ce nombre $N_s$ nous allons définir à quel type d'ouvrage côtier notre aménagement appartient. Le contre-épi doit être particulièrement adapté pour résister à la force de la houle même lors d'événements extrêmes c'est pourquoi des blocs d'enrochements suffisamment lourds seront utilisés. Les dommages acceptés doivent être minimes, en effet le mouvement de blocs pourrait entraîner des répercutions sur les bateaux.

Voici un classement des ouvrages côtiers et leur nombre de stabilité associé :

Classement des ouvrage côtier en fonction de $N_s$ (Source : Rock manual)

    Notre contre-épi sera associé à une digue statiquement stable. Son nombre de stabilité sera compris entre 1 et 4. Généralement les valeurs de $N_s$ sont proches de 2.

 

2. Dimensionnement de la carapace

    La carapace est l'élément le plus sensible à l'attaque de la houle, les caractéristiques des blocs utilisés, notamment leur masse, sont donc très importantes. Beaucoup de formules empiriques ont été développées en fonction de la stabilité de l'ouvrage depuis 70 ans.

    Nous choisissons d'utiliser l'approche d'Hudson (1959). Son domaine de validité est adapté à notre étude, puisqu'en effet elle peut être utilisée en eau profonde comme peu profonde et pour une houle déferlante ou non. Nous nous trouvons dans un cas intermédiaire: eau semi profonde et houle plutôt non déferlante. La formule de Hudson a été mise en place à l'aide d'expériences dans des conditions de houle régulière sur des ouvrages en enrochements non-franchis à noyau perméable.

Voici la formule de Hudson donnant la masse médiane de l'enrochement $M_{50}$ (Source : Rock Manual):

$$ M_{50carapace} =\frac{\rho_r H_{1/10}^3}{K_d \Delta^3 \cot(\alpha)} $$

Avec :

  • $\rho_r$ : masse volumique apparente de la roche ($kg/m^3$)
  • $\Delta$ : la densité relative déjaugée (adimensionnelle) ($\Delta = \frac{\rho_r - \rho_w}{\rho_w}$)
  • $H_{1/10}$ : Valeur moyenne du dixième supérieur des hauteurs des vagues des données observées à 30 minutes d'intervalle ($H_{1/10}=1.27 H_s$).
  • $\alpha$ : angle du talus côté mer
  • $K_d$ : coefficient de stabilité ($K_d$=4 pour une houle non déferlante et correspondant à  un niveau de dommage minime)
  • $M_{50carapace}$ : masse médiane d'un bloc d'enrochements de la carapace

    On trouve une masse estimée de 766 kg minimum pour la carapace.

    Or : $D_{n50carapace} = \left\{\frac{M_{50}}{\rho_r}\right\}^{1/3}$

    Nous pouvons donc avoir une approximation du diamètre médian à utiliser pour la carapace : $$D_{n50carapace} = 66 cm $$

    Ces paramètres nous fourniront une stabilité : $N_s = 1.4$. Cette dernière correspondant à celle recherchée : un dommage quasiment nul (entre 0 et 5%).

   En ce qui concerne la largeur de la crête $B$, il est souvent démontré grâce à la pratique, qu'elle doit au minimum être 3 à 4 fois plus grande que le diamètre médian nominal de l'enrochement constituant la carapace.

$$B_{minimum} = 4 * D_{n50carapace} = 2.7 m $$

    Pour des raisons de circulation et en prenant une certaine marge de sécurité, nous choisissons d'élargir cette largeur de crête à 3.5m.

    Concernant la porosité de la carapace celle-ci est évaluée à 37% (valeur typique pour des blocs anguleux placés sur une double couche avec une pente de 3/2).

    D'autres caractéristiques importantes pour la construction de l'aménagement sont à déterminer : l'épaisseur de la couche d'enrochement, le nombre de couches ainsi que le nombre de blocs d'enrochements au mètre carré à placer sur la couche.

    Voici la formule empirique fournissant l'épaisseur de la couche de la carapace (Source : Rock Manual) :

$$ e_{carapace} = n k_t D_{n50carapace} $$

Avec :

  • $n$ : nombre de couche de la carapace (ici, on prend $n$=2 pour avoir une carapace en double couche plus stable)
  • $k_t$ : coefficient d'épaisseur de couche prenant en compte la densité de pose de la couche ($k_t=0.97$ selon le rock manual dans notre cas)
  • $D_{n50carapace}$ : diamètre médian nominal de la carapace

    L'épaisseur de la couche de la carapace est de : 1.28m. Elle correspond à 2 fois le diamètre médian nominal des enrochements, ce qui valide notre estimation.

    Le nombre de blocs nécessaire pour habiller une surface de $1m^2$ est définit de la manière suivante : (Source : scs-ingenierie)

$$ N_{blocs carapace} = n k_t \left\{1-\frac{P}{100}\right\}\left\{\frac{M_{50carapace}}{\rho_r}\right\}^{-2/3} $$

Avec :

  • $n$ : nombre de couches de la carapace (ici, on prend $n$=2)
  • $k_t$ : coefficient empirique d'épaisseur de couche ($k_t=0.97$ selon le Rock Manual dans notre cas)
  • $P$ : porosité de la carapace ($P$ = 37%)
  • $M_{50carapace}$ : masse médiane d'un bloc d'enrochement de la carapace
  • $\rho_r$ : masse volumique apparente de la roche ($kg/m^3$)
  • $N_{blocs carapace}$ : nombre de blocs nécessaire sur une surface de $1m^2$

    Après calcul, on obtient $ N_{blocs carapace} $ = 3 blocs par $m^2$, ce critère sera à respecter par le constructeur.

    Les caractéristiques de la carapaces sont maintenant évaluées. Voici un tableau récapitulatif des éléments importants:

Caractéristiques de la carapace

Hauteur de la crête 2.6 m au dessus du niveau de l'eau au repos
Largeur de la crête 3.5 m
Nombre de couche 2
Epaisseur de la carapace totale 1.28 m
Masse médiane des blocs 766 $kg$
Diamètre médian des blocs 66 cm
Nombre de blocs sur une surface de $1m^2$ 3
Porosité 37 %

3. Dimensionnement de la butée de pied

    En général, lorsqu'une digue ou un contre-épi est orienté côté mer, une butée de pied est mise en place pour protéger la carapace des éventuels effets de fond. De même que pour la carapace cette butée de pied devra être stable.

    En mettant les mêmes types d'enrochements que la carapace pour construire cette butée, nous sommes sûrs d'assurer sa stabilité. En revanche, en pratique, il est préférable de réduire la taille des enrochements ainsi que leur masse pour de multiples raisons et plus particulièrement économiques. Cependant, il faut être vigilant de ne pas couvrir la butée d'un enrochement trop petit pour éviter d'éventuels colmatages, inclusions à l'intérieur de la carapace et même dans le cas extrême un arrachement de la butée sous l'action de la houle si son poids est trop faible.

    Une formule empirique pour évaluer la masse médiane minimum des blocs de la butée de pied est présentée dans le livre Ouvrages de protection contre la houle écrit par Daniel CAMINADE. Voici son expression :

$$ M_{50butée} = \left\{\frac{1}{10}\frac{h_t}{H_{1/10}}\right\} \left\{\frac{\rho_r H_{1/10}^3}{K_d \cot(\alpha) \Delta^3}\right\} $$

Avec :

  • $h_t$ : Hauteur d'eau au dessus de la butée de pied
  • $H_{1/10}$ : Valeur moyenne du dixième supérieur des hauteurs des vagues des données observées à 30 minutes d'intervalle ($H_{1/10}=1.27 H_s$)
  • $\rho_r$ : Masse volumique apparente de la roche ($kg/m^3$)
  • $\alpha$ : Angle du talus côté mer
  • $K_d$ : Coefficient de stabilité ($K_d$=4 pour une houle non déferlante et correspondant à  un niveau de dommage minime)
  • $\Delta$ : Densité relative déjaugée (adimensionnelle) ($\Delta = \frac{\rho_r - \rho_w}{\rho_w}$)
  • $ M_{50butée} $ : Masse médiane des blocs de la butée de pied

Afin de calculer cette masse, il faut estimer la hauteur d'eau au dessus de la butée $h_t$. Certains chercheurs ont émis l'hypothèse qu'une relation entre le nombre de stabilité et cette hauteur était existante. Cependant, à l'heure actuelle aucune preuve n'a été démontrée et aucune relation explicite n'a été découverte.

A l'aide de données répertoriées dans le Rock Manual, on remarque que plus la butée est élévée, moins la stabilité est assurée : on se rapproche d'un dimensionnement de berme. En revanche, lorsque la butée est proche du fond, la stabilité est assurée (ratio $h_t/h$ au dessus de 0.5, $h$ la profondeur d'eau). Voici un tableau récapitulatif tiré du Rock Manual récapitulant ces rapports de stabilité :

Valeur du nombre de stabilité en fonction du rapport $h_t/h$ (Source : Rock Manual)

On constate que pour un ration de 0.8, la stabilité est parfaitement assurée, et les dommages sont réduits. On choisira de dimensionner notre butée de pied en imposant cette stabilité $N_{s butée} = 6.5.

En utilisant la formule de Pilarczyk (1998) présentée dans le Rock Manual, nous pouvons remonter à $h_t$ :

$$h_t =\left\{\frac{ \frac{N_s butée}{N_{od}^{0.15}}-2}{6.2}\right\} ^{1/2.7} *h $$

Avec :

  • $N_s butée$ :Nombre de stabilité de la butée de pied
  • $h$ : Profondeur de l'eau au pied de l'ouvrage
  • $N_{od}$ : caractérise le niveau de dommage (on prend $N_{od} = 2$ ce qui correspond à un dommage accepté d'un léger aplanissement de la butée
  • $h_t$ : Hauteur d'eau au dessus de la butée de pied

    Après calculs, nous trouvons une hauteur d'eau au dessus de la butée de pied de $h_t = 3.35$, la hauteur de l'élément de l'ouvrage sera donc de : 65cm.

    Nous pouvons à présent déterminer la masse des blocs de l'élément : $ M_{50butée} $ = 135 kg $

 Nous appliquons ensuite les mêmes formules que pour la carapace pour déterminer la largeur minimale de la butée $ B_{butée}$ , le diamètre médian nominal des blocs $D_{n50 butée}$ et le nombre de blocs par m².

Voici un tableau récapitulatif des dimensions de la butée de pied :

Caractéristiques de la butée de pied

Hauteur de la butée 65 cm
Largeur de la crête 1.48 m
Masse médiane des blocs 135 $kg$
Diamètre médian des blocs 37 cm
Nombre de blocs sur une surface de $1m^2$ 9
Porosité 37 %

4. Dimensionnement de la sous-couche

    Aucune formule n'est applicable pour le dimensionnement des sous-couches. Seules des recommandations effectuées par le SPM (Shore Protection Manual) nous renseignent sur une proportionnalité entre les éléments de la carapace et ceux de la sous-couches.

$$ M_{50 sous couche} = 1/10 * M_{50  carapace} $$

et

$$ D_{50 sous couche} = 1/2.2 * D_{50 carapace} $$

    Les blocs de la sous couche ne doivent pas être trop petits, afin d'assurer une meilleure imbrication dans la carapace et afin d'avoir une sous couche rugueuse et perméable. L'évaluation de l'épaisseur de la couche et du nombre de blocs sur une surface de $1m^2$ est effectuée avec les mêmes formules que pour la carapace.

Voici un récapitulatif des caractéristiques de la sous couche :

Caractéristiques de la sous couche

Largeur de la sous couche 3 m
Nombre de couche 2
Épaisseur de la sous couche totale 58 cm
Masse médiane des blocs 77 $kg$
Diamètre médian des blocs 30 cm
Nombre de blocs sur une surface de $1m^2$ 14
Porosité 37%

5. Dimensionnement du talus arrière

    L'ouvrage a été dimensionné jusqu'à présent de manière à ce que le talus avant (côté mer) supporte l'attaque de la houle, et limite les effets de franchissement en acceptant des dommages minimes. Par conséquent, étant moins exposé, les dimensions du talus arrière peuvent être inférieures à celles du talus avant.

On choisit dans un premier d'utiliser une pente de talus arrière plus raide (4/3 : 4 unité de largeur et 3 unité de hauteur) que celle de l'avant pour limiter le volume de matière première à utiliser lors de la construction.

La taille des enrochements du talus arrière peut être exprimée à l'aide de cette formule (Van Gent et Pozueta (2005)) pour un niveau de dommage considéré : (Source : Rock Manual)

$$ D_{n50 talus arrière} = 0.008 \left\{\frac{S_d}{sqrt{N}}\right\}^{-1/6} \left\{\frac{u_{1\%}T_{m-1,0}}{\sqrt{\Delta}}\right\} (\cot(\alpha_{arrière})) ^{-2.5/6} \left\{1+10 exp(\frac {-R_{c,arriere}}{H_s})\right\}^{1/6} $$

Avec :

  • $S_d$ : coefficient de dommage ($S_d$ =2)
  • $N$ : nombre de vagues (pour une tempête de 6 heures avec une période de houle $T$ = 11.2s, on a $N = (6*3600)/11.2$
  • $H_s$ : hauteur significative de la houle
  • $T_{m-1,0}$ : période énergétique de la houle
  • $\alpha_{arrière}$ : angle du talus arrière
  • $R_{c,arriere}$ : revanche de la crête par rapport au niveau de l'eau à l'arrière de la crête (environ égale à $R_c$)
  • $u_{1\%}$ : vitesse maximale (moyennée sur la profondeur) à l'arrière de la crête (m/s) au cours d'un franchissement dépassé par 1% des vagues incidentes (Van Gent, 2003)

$$ u_{1\%} = 1.7*(g \gamma_{f-c})^{0.5} \left\{\frac{R_{u1\%} - R_c}{\gamma_f}\right\}^{0.5} / \left\{1+0.1 \frac{B}{H_s}\right\} $$

  • $B$ :la largeur de crête
  • $R_c$ : la revanche de la crête côté mer
  • $\gamma_f$ : rugosité du talus côté mer (=0.55 pour des talus en enrochements rugueux)
  • $\gamma_{f-c}$ : rugosité de la crête (=0.55 pour les crêtes en enrochements)

    Dans cette expression, il faut faire attention à la valeur du Run-up à 1%, qui est une valeur fictive calculée à l'aide de la formule de Van Gent (2003) reliant le $R_{u1\%}$ au déferlement calculé à partir de la période énergétique $T_{m-1,0}$ et non la période moyenne.

  • Déferlement $\xi_{s-1,0} = \tan(\alpha) / \sqrt{(2 \pi H_s) / (g T_{m-1,0}^2)}$
  • Période $T_{m-1,0}$  : $T_{m-1,0} = T_p / 1.1 $ avec $T_p = T_{1/3} / (1 - 0.132*(\gamma +0.2)^{-0.559})$ et $\gamma = 3.3$, facteur correctif

Le déferlement calculé ci-dessus et de l'ordre de 7. On choisit donc la formule suivante pour calculer $R_{u1\%}$ :

$$ R_{u1\%} = \frac {(c_1 - c_2)}{\xi_{s-1,0}} \gamma H_s $$ pour $ \xi_{s-1,0} >p$

Avec :

  • $c_1$ et $c_2$ : coefficients empiriques ($c_1$=5.1 et $c_2$=0.25)
  • $\gamma$ =3.3
  • $ \xi_{s-1,0}$ : le déferlement calculé avec la période énergétique
  • $ R_{u1\%} $ : le Run-up 1% fictif

Grâce à tous ces éléments et calculs, nous obtenons une valeur du diamètre médian des blocs du talus arrière égale à 49 cm soit 17 cm de moins que l'enrochement de  la carapace.

La masse des enrochements sera donc de 317 kg (soit moins de la moitié d'un bloc de la carapace) :

$$ M_{50 talus arriere} = D_{50 talus arriere}^3 * \rho_s $$

Comme pour les parties précédentes, le nombre de blocs et l'épaisseur sont calculés avec les formules de celle de la carapace.

Une dernière dimension importante à estimer est la largeur $L_s$. Elle va servir à délimiter le début du talus arrière sur la crête. Elle correspond à la zone qu'il faudra protéger contre les éventuelles projections d'eau sur la crête, c'est-à-dire là où l'enrochement doit être encore conséquent.

Cette largeur est déterminée de la façon suivante :

$$ L_s = 0.2 \phi T \sqrt{g (R_u - R_c)} $$

Avec :

  • $\phi$ : facteur lié à l'importance de l'ouvrage (compris entre 1 et 2). Le choix de la valeur est laissée au jugement du concepteur.
  • $T$ : période moyenne de la houle (s)
  • $R_u$ : Run-up de la houle
  • $R_c$ : revanche côté mer de la crête
  • $L_s$ : longueur à protéger

Compte tenu de la présence de digue dissipant la houle en amont du contre épi, on choisit de prendre $\phi$=1. On trouve ensuite un $L_s$ d'une largeur de 2m.

Le talus arrière commencera donc à 2m de la largeur de la crête.

Voici un récapitulatif des dimensions du talus arrière :

Caractéristiques du talus arrière

Longueur de la crête à protéger 2 m
Nombre de couche 2
Épaisseur du talus 96 cm
Masse médiane des blocs 317 $kg$
Diamètre médian des blocs 49 cm
Nombre de blocs sur une surface de $1m^2$ 5

6. Contre-épi final

    Voici le récapitulatif des dimensions de l'ouvrage répertoriées sur les dessins ci-dessous. Nous choisissons un noyau constitué de tout-venant, c'est-à-dire de granulats de différentes tailles mais inférieurs à 500 kg, et disponibles autour du site, comme il est conseillé dans le Rock Manual.

Dessin représentant les principales dimensions de l'ouvrage (Source : Binôme 1 du BEI)

Schéma à l'échelle (Source : Binôme 1 du BEI)

Programme Matlab associé au dimensionnement de la digue : dimensionnement.m

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