Approche fréquentielle pour le Sègre.

Approche fréquentielle pour le Sègre      

 

Cette approche fréquentielle vient à la suite d'un long travail de collecte de données et de reconstitution de données manquantes (voir traitement des données), afin de pouvoir élaborer une densité de probabilité avec les débits collectés. Nous présentons ci dessous la densité de probabilité obtenue:

Comme nous pouvons le remarquer sur la figure ci-dessus, notre bassin versant semble avoir deux comportements différents, un pour des débit assez faibles, autour de 0,5 m3/s et un autre autour de 1,4 m3/s. En effet, nous avons pu constater ces changements de comportement durant notre période de collecte des données: les débits changeaient d'amplitude entre le mois de mars et le mois de juin, ceci est principalement du à la fonte de neige. La fonte de neige va ajouter une quantité d'eau en plus de la quantité présente, nous pouvons déjà sentir la difficulté de modéliser correctement le comportement de notre bassin versant. Nous avons donc un comportement bimodal. C'est pour cela que l'ajustement avec une seule loi de probabilité ne semble pas la meilleure solution. Nous avons alors essayé de filtrer ces modes en prenant les échantillons de débits seulement entre le mois de mars et de juin puis en essayant de les ajuster avec la loi log-normale, la loi de Gumbel et la loi normale, sachant que notre échantillon n'est pas trop asymétrique et que ces lois ont été préconisées pour les études hydrologiques. Voici donc ce que nous obtenons avec la figure au dessous:

Nous remarquons sur ce graphe de densité que nous n'avons pas vraiment filtré le bruit provenant du premier mode. Nous avons donc décidé d'enlever les débits du mois de mars et de ne prendre que les mois d'avril, mai et juin de chaque année. Cela afin de voir si nous arrivons à enlever le bruit dû au premier mode, nous obtenons le graphe suivant:

Comme nous le voyons sur le graphe, il est très difficile de dire quelle est la loi qui représente le mieux ce mode, il aurait été souhaitable de faire un filtrage plus fin que celui effectué mais faute de temps, cela n'a pas été étudié. Nous avons choisi de prendre la loi de Gumbel comme celle s'approchant le plus entre la loi normale et la loi log-normale, qui sont toutes deux dissymétriques par rapport au spectre. Nous allons donc décrire le spectre représentant le moment de la fonte des neiges, et qui est à l'origine de ce petit mode, par une fonction de Gumbel ajustée par les moments soit:

$$f_1(x)=exp(-exp(-{{x-\mu }\over \sigma}))$$.

Pour l'autre mode, nous avons effectué le même traitement probabiliste que précédemment avec les autres mois de l'année. Nous obtenons le graphe suivant:

 

Dans ce cas et visiblement mieux que pour le cas précédent, nous remarquons que la loi log-normale représente bien le mode, en tout cas mieux que les deux autres lois. C'est pour cela que nous garderons cette loi pour la représentation de ce mode soit:

$$f_2(x)={1 \over x \sigma {\sqrt 2 \pi}}{exp -{ (ln(x) - \mu)^2 \over 2 \sigma^2} }$$

Pour envelopper tout le spectre durant l'année, nous avons créé une nouvelle fonction pour représenter la densité de probabilité:

$$f(x)= a_1 f_1(x)+a_2 f_2(x) \ avec\  a_1+a_2=1$$.

Nous avons testé plusieurs valeurs pour a1 et a2. Nous avons vu que pour a1= 0,15 et a2 = 0,85, les valeurs correspondaient le mieux à notre densité de probabilité. Nous obtenons alors le graphe suivant:

Nous remarquons que par rapport aux simples lois de probabilités, la loi ajustée avec la loi log normale et la loi de Gumbel (courbe en rouge) représente mieux la densité de probabilité. Il est vrai que la manière dont cette fonction a été choisie est très simpliste. Le mieux aurait été de multiplier les fonction par un dirac, mais la construction étant compliquée, nous avons choisi de garder ce mode de représentation. Pour déterminer des débits de référence, nous avons tracé la fonction de répartition représentée ici: 

Nous résumons sur ce petit tableau les résultats obtenus grâce à cette étude statistique, les débits de référence du Sègre:

Débits de référence du Sègre

Débits Décennal Cinquantennal  Centennal  Millénal
Valeurs(m3/s) 0,78 1,03 1,58 2,44