Caractérisation du jet

Données du problème

On dispose de quelques informations fournies par l'industriel :

- Le rejet a la rhéologie de l'eau
- Densité variable comprise entre 1000 kg/m3 et 1118 kg/m3 pour une moyenne annuelle de 1053 kg/m3
​- Le rejet est composé de 120g de matière sèche par litre
- Vitesse de sédimentation des particules en suspension : 1 cm/h
- Flux de matière sèche rejetée : 0,18Mt/an en 2010
- Diamètre de la conduite : 30 cm

 

Estimation du débit

          Si l'on considère le mélange de 120g de matière sèche dans 1 litre d'eau d'eau douce, et en négligeant la variation de volume occasionnée, on a que la masse d'un litre de rejet est de 1120g. La fraction massique de résidus est :

\begin{eqnarray*}
f_m &=& \frac{120}{1120} \approx 0,1 
\end{eqnarray*}

On a donc un facteur 10 entre la masse de matière sèche et la masse totale de la boue. Le débit massique dans la conduite est donc

\begin{eqnarray*}
Q_m &=& 0,18.10^6 \times 10 = 1,8.10^6 ~ t/an \\
&=& 1,8.10^6.10^3.\frac{1}{365 \times 24 \times 3600} \\
&=& ~ 57,1 kg.s^{-1}
\end{eqnarray*}

En considérant une masse volumique constante $ \rho = \rho_{moy} = 1053 ~ kg.m^{-3} $, on trouve un débit

\begin{eqnarray*}
Q = \frac{Q_m}{\rho} = 5,4.10^{-2} ~ m^3.s^{-1}
\end{eqnarray*}

 

Vitesse débitante

\begin{eqnarray*}
U=\frac{Q}{S} = \frac{Q}{\pi a^2} = 0,77 ~ m.s^{-1}
\end{eqnarray*}

En revanche, n'ayant pas accès à la viscosité du fluide rejeté, on ne peut pas déterminer de Reynolds pour notre problème.

 

Transport de particules

          Même si nous ne disposons pas d'informations particulières à ce sujet,  le rejet que nous étudions est sans aucun doute diphasique. Une partie de la matière sèche est dissoute dans l'eau tandis qu'une certaine fraction est transportée en suspension. On aimerait savoir si ces particules ont un comportement passif ou non dans l'écoulement. Soit les particules se comportent comme des traceurs, soit dans le cas inverse elles peuvent avoir un comportement inertiel, sédimenter et même modifier l'écoulement moyen. Pour apporter une première réponse on se base sur un nombre de Stokes caractérisant l'inertie des particules.

 

      Masse volumique des particules

          D'après la fraction massique calculée plus $ f_m \approx 0,1 $ on peut dire que la masse volumique de l'effluent est :

\begin{eqnarray*}
\rho_{t} = 0.1 \cdot \rho_{p} + 0.9 \cdot \rho_{eau} \\
avec ~
\left\{
\begin{array}{r c l}
 \rho_t &=& Masse ~ volumique ~ totale \\​
\rho_p &=& Masse ~ volumique ~ des ~ particules \\
\rho_f &=& Masse ~ volumique ~ de ~ l'eau ~ douce
\end{array}
\right. \\
\Rightarrow 
  &\rho_p& = \frac{\rho_t - 0.9 \cdot \rho_{eau}}{0.1} = 1530 ~ kg.m^{-3}
\end{eqnarray*}

 

 

      Diamètre caractéristiques des particules

          On ne dispose pas du diamètre caractéristique des particules, mais on connaît leur vitesse de chute. La loi de Stokes donne la vitesse de chute d'une particule dans un fluide au repos pour des Reynolds très faibles (i.e pour des petites particules). Elle s'écrit

\begin{eqnarray*}
Vt&=&\frac{2}{9} \frac{a_p^2.g.(\rho_p - \rho_f)}{\mu_f} \\
\Rightarrow a_p &=& \sqrt{\frac{9}{2}.\frac{Vt.\mu_f}{g.(\rho_p - \rho_f)}}=1,55 ~ \mu m \\
avec ~
\left\{
\begin{array}{r c l}
 \mu_f &=& 10^{-3} ~ Pa.s \\
 \rho_f &=& 1000 ~ kg.m^{-3}
\end{array}
\right.
\end{eqnarray*}

On peut calculer un nombre de Reynolds pour une particule en chute libre dans un fluide au repos. Pour le diamètre calculé ci-dessus, on trouve 

\begin{eqnarray*}
Re_p=\frac{a_p Vt}{\nu}=4,31.10^{-6} \ll 1
\end{eqnarray*}

L'hypothèse $Re_p \ll 1$ est donc vérifiée et la loi de Stokes est valide.

     Nombre de Stokes

Le nombre de Stokes est définit par :

\begin{eqnarray*}
St&=&\frac{\tau_p}{\tau_f}
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
où ~ \tau_p&=&temps ~ caractéristique ~ des ~ particules=\frac{a_p}{Vt} \\
et ~ \tau_f&=&temps ~ caractéristique ~ de ~ l'écoulement ~ turbulent \\
&=&\frac{longueur ~ caractéristique ~ turbulente}{vitesse ~ caractéristique ~ turbulente} \\
&=&\frac{d}{u'}
\end{eqnarray*}

avec $d$ le diamètre de la conduite, $u'$ une vitesse caractéristique des fluctuations turbulentes, $a_p$ diamètre caractéristique des particules et $Vt$ la vitesse de chute (vitesse de sédimentation) des particules.

En considérant une intensité turbulente raisonable de 10%, on a $u'=0,1.U$ où U est la vitesse débitante dans la conduite. 
Au final, on obtient $ St=0,14 $.

On considère que les particules sont non-inertielles pour des nombres de Stokes $St \ll 1$. Même si le nombre de Stokes calculé ci-dessus est approximatif, il permet d'apporter une information sur le transport de particules dans le jet. Le résultat $St=0,14$ suggère un comportement passif des particules qui seraient donc non inertielles (traceurs).

 

Estimation de la densité de l'eau de mer

 

          En l'absence de données spécifiques à la zone étudiée il est difficile de connaître la densité de l'eau de mer à l'endroit où s'effectue le rejet. Bien sur il semble relativement important d'acceder à cette valeur puisqu'elle est déterminante pour quantifier les effets de flottabilité en sortie de conduite. Cependant, étant donnée l'importante variation de la densité du rejet il n'est pas nécessaire de déterminer de manière très précise la densité de l'eau de mer.
Après lecture de différents documents (cf bibliographie), il semblerait que pour une profondeur de -300m il soit raisonnable de considérer une eau à température $T \approx 13,5° $ et salinité $ S \approx 38,5 $.
A partir de l'équation d'état de l'eau de mer (IES80) on peut alors approcher une valeur pour la densité de l'eau. On trouve

\begin{eqnarray*}
\rho \approx 1030 ~ kg.m^{-3}
\end{eqnarray*}