Etude théorique

Etude théorique

A présent que nous avons défini le cadre de notre d'étude, nous pouvons réaliser une étude théorique de la physique du rejet. Dans un premier temps on considère que l'ensemble du rejet s'effectue au travers d'un seul injecteur. L'un des objectifs de cette partie sera de déterminer la hauteur maximale du rejet afin d'adapter notre géométrie pour la modélisation numérique.

Calcul du diamètre de l'injecteur

$Q$ le débit d'éjection des saumure est défini de la manière suivante:

$Q=\dfrac{\pi D^2 V}{4}$

Où $D$ est le diamètre de l'injecteur et $V$ la vitesse d'éjection.

Le débit étant imposé, $D=40824~m^{3}/j$, on choisit une vitesse d'éjection $V=5~m.s^{-1}$ permettant une bonne dilution. On en déduit ainsi le diamètre de l'injecteur : $D=35~cm$

 Calcul des flux spécifiques

  • Flux spécifique de quantité de mouvement :

$M=\int v(v.n)\, \mathrm dS$

  • Flux spécifique de flottabilité :

$F=\int v.g'\, \mathrm dS$

Où g' est la gravité réduite définie par : $ g'=\dfrac{\rho_{0}-\rho_{a}}{\rho_{\infty}}g $

Avec:

$\rho_{0}$ la masse volumique de l'eau de mer.

$\rho_{r}$ la masse volumique  du rejet.

$\rho_{\infty}$ la masse volumique de référence.

$g$ l'accélération de la pesanteur.

Notre problème étant un problème stationnaire et, de plus, la vitesse $V$ étant normale à la surface de rejet on peut écrire que:

$M=Q.V$

$F=V.g'$

Ainsi, $M=2,36~m^{4}.s^{-2}$ et $F=-0,13~m^{4}.s^{-3}$

Influence de la stratification

On désire à présent évaluer l'influence de la stratification de l'océan sur notre rejet. Pour cela on calcul la fréquence de Brünt-Vünsala en faisant l'hypothèse d'une stratification linéaire :

$N^2=-\dfrac{g}{\rho_{0}}\dfrac{\partial \rho}{\partial z}$

Ainsi, $N=0.057~s^{-1}$

On calcule alors le nombre sans dimension $\dfrac{MN}{B}$ :

$\dfrac{MN}{B}=-1.05$

Calcul du nombre de Richardson initial

Le nombre de Richardson est un nombre adimensionnel qui compare l'énergie cinétique d'un fluide avec son énergie potentielle gravitationnelle. Les longueurs $l_{Q}$ et $l_{M}$ permettent de caractériser les régions où notre rejet à un caractère de jet idéal ou de panache idéal :

$l_{Q}=\dfrac{Q}{M^{\frac{1}{2}}}$

$l_{M}=\dfrac{M^{\frac{3}{4}}}{F^{\frac{1}{2}}}$

Ainsi, $l_{Q}=0.31~m$ et $l_{M}=5.3~m$

On en déduit que :

  • Pour $0 \leq h \leq l_{Q}$ l'écoulement est contrôlé par la géométrie de la buse d'éjection. On remarque que $l_{Q} \approx D$.
  • Pour $l_{Q} \leq h \leq l_{M}$ l'écoulement est proche du jet idéal.
  • Pour $l_{M} \leq h \leq 15~m$ l'écoulement est proche du panache idéal.

$Ri_{0}=\dfrac{l_{Q}}{l_{M}}=\dfrac{Q.F^{\frac{1}{2}}}{M^{\frac{5}{4}}}$

  D'où, numériquement : $Ri_{0}= 0,058$

L'écoulement est donc initialement contrôlé par les effets d'inertie $Ri_{0} \leq 1$.