Modèles

        Introduction :

 

          Notre cas d'étude correspond à un jet multiphasique. Les résidus secs mélangés à l'eau en aval forment une phase continue de masse volumique variable et une phase discrète constituée de particules fines en suspension. Il difficile d'associer ce cas à un cas classique de mécanique des fluide. La présence des particules associée aux effets de flottabilité agissant sur la phase continue en font un problème complexe. Ajoutée à cette difficulté se trouve le manque de connaissances à propos des modèles proposés par Starccm+ pour traiter ce type de problème. Notre démarche a donc été d'effectuer une série de simulations pour tester différents types de modèles pouvant convenir à notre étude mais aussi afin de nous aider à caractériser notre jet.

          Le modèle multiphasique eulerien de Starccm+ permet de traiter des cas complexes tels que les problèmes de mélange de deux phases continues ou le transport de phases discrètes (bulles, gouttes et particules). Les modèles Volume of Fluid (VOF) et Multiphase Segregated Flow sont les deux modèles proposés. C'est le second qui permet de traiter des problèmes de mélange. Une approche multiphasique peut donc permettre de traiter notre problème de manière complete en incluant le mélange des deux phases continues (eau de mer et effluent) et le transport des particules fines.

          Cependant une telle approche n'est pas forcement  nécessaire. Si l'on admet l'hypothèse que les particules fines ont un comportement passif dans l'écoulement, du moins dans la zone proche de l'emissaire, alors on se retrouve dans un cas classique de jet avec effets de flottabilité (ou panache forcé). Le cas échéant on pourrait alors envisager de traiter le problème avec un modèle de Boussinesq.

          Dans la partie qui suit nous tentons donc de réaliser quelques tests afin d'appréhender les différents modèles et de choisir une configuration adaptée à notre étude.

 

          I. Cas des particules :

          Dans cette partie, nous allons nous attacher à montrer par un autre argument que le calcul du nombre de Stokes effectué précédemment que les particules sont passives dans l'écoulement (nous parlons toujours ici du champs proche). Pour ce faire, nous avons réalisé des simulations en modèle Eulerien (transport d'une grandeur "fraction volumique" par l'écoulement) et en suivi Lagrangien (transport de "paquets" de particules par l'écoulement).

                I.1. Modèle Eulerien

          Dans ce premier cas, on obtient un champ de fraction volumique et on cherche à savoir si les particules tombent où non au sein de l'écoulement. Pour matérialiser cela, on compare les parts de fraction volumique au dessus et en dessous de l'axe du jet et ce, à différentes abscisses. Cette comparaison nous permet de mettre en évidence si la quantité "fraction volumique", qui représente les particules, a tendance à tomber ou si au contraire, elle suit l'écoulement tel un scalaire passif.

          La courbe si dessus représente donc le surplus de fraction volumique situé sous l'axe du jet et on constate qu'il s'agit d'une droite croissante avec x. Il est important de noter qu'au bout de 10m, il y a près de 30% de fraction volumique de plus sous le jet qu'au dessus. Ce résultat ne va pas vraiment dans le sens de "particules passives dans l'écoulement". Il va de soit que si nous nous intéressions au jet à des distances de plusieurs dizaines de mètres, notre hypothèse ne tiendrait plus la route. Cela dis, nous nous intéressons ici au champ proche et de plus, nous parlons de fractions volumiques très faibles et sans doute trop faible pour influer l'écoulement moyen.

                I.2 Suivi Lagrangien

           Dans un second temps, nous avons souhaité confirmer le résultat précédent grâce au suivi particulaire que propose Starccm+. La démarche était la même, il s'agissait de "compter" les particules au dessus et en dessous de l'axe du jet, et ce pour plusieurs abscisses afin de mettre en évidence l'éventuelle chute de ces dernières. Le profils de répartition des particules que nous obtenons sont les suivants :

Profil de la répartition des particules en x=3m

Profil de la répartition des particules en x=7m (attention, échelles non-orthonormés)

          Sur ces deux graphes, nous pouvons dans un premier temps constater l'expansion du nuage particulaire dont l'aire a été multiplié par deux. Nous avons rajouté en pointillé gras le niveau de l'axe du jet par rapport au nuage de particules. Nous remarquons déjà visuellement qu'entre 3m et 7m, une partie des particules est passée sous l'axe du jet et est donc "tombée". Afin de quantifier cette chute et de la comparer avec le résultat du modèle Eulerien, nous avons tracé le graphe suivant : 

          On remarque que dans ce cas aussi, on obtient une droite dont l'équation se rapproche de y=0.045*x - 0.057. Les résultats sont d'ailleurs "pires" que pour le modèle Eulerien, c'est à dire que à 10m, le surplus particulaire sous l'axe du jet est de presque 40%. Cependant, pour les mêmes raisons que précédemment, nous considèrerons que ces particules sont passives mais nous garderons bien à l'esprit pour la suite que cette hypothèse n'est faisable que dans les premiers mètres suivant la sortie de la buse.          

  

          II. Choix du modèle :  

          Après nous être débarrassé du problème des particules, reste à choisir le modèle que nous allons utiliser pour traiter notre jet. Nous avons hésité entre deux modèles, le premier est le modèle "Multiphase Segregated Flow" et le modèle de "Boussinesq". Ces deux modèles permettent de représenter les effets de mélange et de flottabilité qui régissent notre écoulement. Cependant, ils ne représentent pas la même physique, comme nous allons le monter par la suite.

 

                II.1. Le Modèle "Boussinesq"

          Ce modèle est basé sur l'ajout d'un terme de flottabilité dans les équations. Ce terme s'exprime en fonction de la différence de température entre les deux milieux. Dans Starccm+ il s'écrit comme suit : 

\begin{equation}
f_g = \rho g \beta (T-T_{ref})
\end{equation}

       On ramène donc le problème initialement en masse volumique en température. Ce modèle a l'avantage d'être simple à mettre en place et produit des résultats assez rapidement. Cependant, il ne traite pas chaque phase séparément, ce que fait le modèle multiphase, il se contente de mélanger par diffusion turbulente.

               II.2. Le Modèle "Multiphase Segregated Flow"

        Comme dit précédemment, ce modèle résoud pour chacune des phases de l'écoulement les équations de conservation. Ainsi, il existe des interactions entre les différentes phases (échange de quantité de mouvement, trainée, ...). Il s'agit donc d'une physique très différente de celle caractérisée par le modèle de Boussinesq. En effet, à l'interface entre chaque phase, entrent en jeu des interactions qui augmentent la capacité de mélange. Ces caractéristiques seront misent en évidence par la suite. 

               II.3.  Quel modèle choisir ?

           Fort de ces informations, il faut maintenant trancher et choisir le modèle avec lequel nous allons travailler. Nous avons alors besoin d'arguments qui nous permettent de choisir objectivement. Nous avons donc fait le choix de comparer chacun de ces modèles à une simulation "type" sans modèle particulier.
         Nous avons donc mis au point une simulation d'un jet d'eau dans l'eau (aucune différence de masse volumique ou température, sans effet de flottabilité) et nous avons comparé les profils de vitesses transverses ainsi que les coefficients d'expansion des jets obtenus par chacun des modèles à vide. Par "à vide" nous entendons que pour le modèle multiphase, nous avons injecté une phase dans une phase identique et pour le modèle de Boussinesq, la température de l'injecteur était celle de l'eau environnante. Nous pouvons ainsi constater l'impact de chacun des modèles sur la solution.

           Comparaison des profils axiaux de vitesse :

           On remarque sur ce graphe que les différences de vitesse sur l'axe entre les deux modèles sont importantes (un rapport de deux à partir de 6m), cela s'explique par le meilleur mélange qui a lieu dans le modèle multiphase (cf "Modèle Multiphase Segregated Flow"). Comme on pouvait s'y attendre, le modèle de Boussinesq se cale parfaitement sur le profil du jet "type", car le seul terme de flottabilité ajouté, vaut zéro (Par la suite, ces deux cas seront d'ailleurs confondus). Sur ce graphe est également représentée la décroissance théorique d'un tel jet, en 1/x. On remarque que quantitativement, le modèle multiphase s'en rapproche plus mais qualitativement chacune de ces courbes suit les bonnes variations.

                      

           Résultats pour le modèle de Boussinesq (valable pour le jet "type") :          

          Nous nous sommes intéressé à la largeur du jet en $V=V_{max}/2$ car nous disposions des résultats théoriques qui sont $b=0.107 x$ ainsi la valeur de 0.15 que nous obtenons est correcte.

 

                             Résultats pour le modèle Multiphase :

               Cette fois ci, nous obtenons un coefficient d'expansion du jet de 0.25, ce qui correspond moins à la physique que nous recherchons. L'expansion du jet avec le modèle multiphase est plus rapide ce qui s'explique une fois de plus par la diffusion turbulente qui a lieu à l'interface entre les phase.

 

             III. Conclusion :

              Nous avons retenu le modèle de Boussinesq pour la suite de l'étude, car ce modèle représente mieux la physique que nous souhaitons représenter. En effet, notre rejet ayant la réhologie d'une eau, seuls les effets de flottabilité nous intéresse. Ainsi nous nous affranchissons des effets liés à la trainée à l'interface ce qui parait, dans notre cas, être une hypothèse raisonnable.