1. Influence du Rayleigh sur l'amplitude et l'énergie des rouleaux de convection

 

Influence du Rayleigh sur l'amplitude et l'énergie des rouleaux de convection

 

Influence du Rayleigh sur l'amplitude des rouleaux de convection :

Au cours de cette étude paramétrique, il nous a semblé intéressant de nous attarder sur l'influence du nombre de Rayleigh après avoir passé le seuil d'instabilité sur le champ de vitesse et en particulier sur les vitesses maximales que l'on obtient dans notre domaine, qui sont des vitesses caractéristiques de l'écoulement dans la cavité fermée.

Pour cela, nous avons utilisé une cavité dont les dimensions sont:

Hauteur:  $0.01 m$
Longueur:  $0.03 m$

Nous avons utilisé un maillage 20*40 qui nous permettait d'allier une bonne précision avec des temps de calcul raisonnables. En jouant sur la température de la paroi inférieur, on a alors fait évoluer le nombre de Rayleigh entre 1871 ( seuil de déclenchement de l'instabilité pour A=3) et 22010 pour se donner une idée de l'évolution des vitesses verticale et horizontale maximales du rouleau en fonction du nombre de Rayleigh après le seuil d'instabilité.

En utilisant Matlab, on obtient alors les résultats suivants:

On trouve donc un comportement en $ V_{max}  \alpha  (Ra-Ra_c)^{0.5} $ . et $ U_{max}  \alpha  (Ra-Ra_c)^{0.5} $ même si pour les vitesses horizontales, cela est moins précis ( coefficient de corrélation de 0.99463 contre 0.99711).

Ce comportement est un comportement attendu par la théorie ( O.Thual, "Instabilités hydrodynamiques"). Cela confirme que le code est correct une nouvelle fois.

 

Influence du Rayleigh sur l'énergie des rouleaux de convection :

Une autre méthode pour retrouver ce comportement est de se placer d'un point de vue énergétique. En effet, l'énergie des rouleaux est proportionnelle à l'amplitude (la vitesse) au carré des rouleaux. Ainsi, la théorie montre que $ Ec  \alpha  (Ra-Ra_c) $ dans l'hypothèse bidimensionnelle, ce qui est notre cas.

Pour effectuer notre étude, nous nous sommes cette fois-ci placé dans une cavité de paramètre géométrique A=1 (0.01m * 0.01m):

Pour calculer l'énergie cinétique du rouleau, nous avons sommé sur toutes les mailles du domaine $ \frac{1}{2}u^2 + \frac{1}{2}v^2 $ en s'assurant d'être bien en régime stationnaire à chaque expérience. Cette approximation de l'énergie cinétique trouve sa justification au fait que la contribution des mailles du domaine où ne se trouve pas le rouleau de convection est faible étant donné que non seulement à ces endroits, les vitesses sont faibles (<<1) , mais en plus on les élève au carré, ce qui les rend négligeables.

On trace à l'aide de Matlab l'évolution de l'énergie cinétique du rouleau de convection:

Cette fois-ci encore, on retrouve le comportement théorique de l'énergie cinétique, de manière encore plus précise qu'en terme d'amplitudes des tourbillons.

Compte rendu d'expérience: CR expérience 3

Conclusion:

Nous avons retrouvé deux lois d'évolution théorique caractéristiques du phénomène d'instabilité de Rayleigh Benard: $ V_{max}  \alpha  (Ra-Ra_c)^{0.5} $ et $ Ec  \alpha  (Ra-Ra_c) $ . Cela confirme encore que notre code décrit correctement ce phénomène, tant en terme d'amplitudes qu'en terme énergétique.