4) Instabilité de Rayleigh-Benard

   Une autre prise en main du logiciel OpenFoam a été faite avec l'étude des instabilités de Rayleigh-Benard.

 

Un petit peu d'histoire :

    Lord Rayleigh et Henri Bénard sont les deux physiciens à l'origine de la découverte et de l'analyse des cellules de convection. Ces analyses on été faites de façon indépendantes et simultanées au début du vingtième siècle.

 

Principe physique :

    Si l'on considère une cavité rectangulaire chauffée au niveau de sa partie inférieure il est possible d'observer, au bout d'un certain temps, la formation de rouleaux de convection.

    Le fluide chaud est moins dense que le fluide froid et il a tendance à monter dans le champ de gravité, par effet de la poussée d'Archimède. Une fois en haut, le fluide se refroidit en échangeant de la chaleur avec la partie supérieure (froide) et devient ainsi plus lourd que l'air chaud. Cela provoque la descente du fluide. En atteignant la paroi inférieure, la fluide reçoit de nouveau de la chaleur de la part de la paroi du bas et remonte ainsi dans la cavité. Et ainsi de suite jusqu'à la formation de rouleaux. Lorsque la différence de température entre le bas et le haut de la couche de fluide est assez grande, on voit apparaître des rouleaux de convection réguliers dont la largeur est voisine de l’épaisseur de la couche de fluide.

 

Source: Wikipédia

 

L'approximation de Boussinesq :

    L'approximation de Boussinesq consiste à dire que la masse volumique du fluide est considérée constante dans les équations de Navier-Stokes, pour négliger les forces de compression. Cependant, pour prendre en compte les effets de flottabilité hydrostatique, elle est supposée dépendre de la température. Ainsi, elle permet une formulation incompressible des équations de Navier-Stokes en prenant en compte des forces de flottabilité (poussée d’Archimède) dues a la dilatation du fluide et induite par une variation de la tempé́rature.

    Les effets de la flottabilité hydrostatique sont représentés par la formule suivante : $ \frac{\rho}{\rho_0} = 1 - \alpha(T-T_0) $

Où $ \rho_0 $ est la masse volumique de l'eau et $ T_0 $ la température de référence.

 

Démarrage de l'instabilité et nombre de Rayleigh :
 

   Le démarrage de la convection  s'opère lorsqu'un certain gradient de température est atteint : à ce moment là, le fluide se met en mouvement spontanément. Ce phénomène est contrôlé par un nombre adimensionnel, le nombre de Rayleigh qui compare les effets de la gravité (poussée d'Archimède) avec les effets de la dissipation (dissipation thermique et due à la viscosité).

   Le nombre de Rayleigh, caractéristique de ce phénomène d'instabilité, est définit par la relation:

$ Ra =  \frac{poussée  d'Archimède} {dissipation} $

soit :

$ Ra = \frac {g  \Delta T  \beta  L^3} {a  \nu} $

Avec :

  • $ g = 9,81 m / s^2 $ : la constante de gravité (terrestre)
  • $ \Delta T $ :  la différence de température entre les deux plaques (la plus chaude étant celle du bas)
  • $ \beta = 3 . 10^{-3}  K^{-1} $:  le coefficient d'expansion thermique
  • $ L=1 cm $: la distance séparant les deux plaques
  • $ a = 2,22 . 10^{-5} m^2 / s $  :  la diffusivité thermique (ici de l'air)
  • $ \nu = 1,54 . 10^{-5} m^2 / s $ :  la viscosité cinématique du fluide (ici de l'air)

NB: On peut ici noter que a et $\nu$ ont été choisis tel que le nombre de Prandtl, définit par   $ Pr= \frac {\nu}{a}$,   soit égal à 0,7 .