3.1. Presentation du phénomène diffusion

         On se propose d'étudier par la méthode des différences finies le phénomène diffusion thermique pur sur une barre de longueur 4 mètres. On considère que le problème est unidimensionnelle.

L'équation de diffusion s'écrit : 

$$ \frac{dT}{dt}=\alpha*\frac{d^2T}{dx^2} $$

où T est la temperature de la barre [K] et $\alpha $ est le coefficient de diffusion [ $ m^2/S $ ]

Cette équation est soumise à la condition initiale suivante :

        On impose une plus grande température (T1 = 353 K) au centre de la barre et une plus petite température(T2 = 0 K) sur la barre entière. En outre, on utilise les données suivantes :

        longueur de  barre = 4m;

        $ \alpha$  = 0,002 $ \frac{m^2}{S} $ ; 

        nombre de mailles = 100;

        temps de simulation = 10s et 100s;

         Dans la suite, on va comparer la solution calculée par la méthode de différences finies diffusion premier ordre, deuxième ordre avec la solution analytique à l'aide de notre interface graphique.

         Pour la solution analytique, on impose une température T = 0 sur tout le domaine pendant t<0. A t=0, on impose une température T0= 353 K au centre de la barre, cela revient à imposer un Dirac à x=0.

La température en fonction du temps évolue comme:

$$ Tx,t = \frac{T0}{2*\sqrt{\Pi*\alpha*t}}*exp(- \frac{x^2}{4*\alpha*t}) $$

          On utilise un schéma explicite en temps centré en comme le schéma de différence finie diffusion premier et deuxième ordre:

Premier ordre:

$$ T_i^{n+1}=T^n_i-CFL*T_{i}^n+CFL*T_{i-1}^n  $$        

avec $ r = \frac{\alpha*\delta t}{\delta x^2} $ r= nombre de fourier

Deuxième ordre:

$$T_i^{n+1}=T_i^n+r*(-\frac{T_{i+2}^n}{12}+\frac{4}{3}*T_{i+1}^n-\frac{5}{2}*T_i^n+\frac{4}{3}*T_{i-1}^n-\frac{T_{i-2}^n}{12}) $$

          Pour que le schéma soit stable, il existe des valeurs particulières de r qu'on va discuter ensemble dans les rubriques suivantes.