3.2. Méthode des différences finies pour diffusion d'ordre 1

Le schéma numérique explicite, centré en espace est le suivant :

 

$$ T_i^{n+1}=r*T_{i+1}^n+(1-2*r)*T_i^n+r*T_{i-1}^n $$

 

où $ r=\frac{\alpha*\delta t}{\delta x^2} $ est les nombre de Fourier

On applique la TFD (Transformet de Fourier Discrète) aux deux membres de l'équation et on calcule le symbole 

$$\rho=\frac{TFD(T_i^{n+1})}{TFD(T_i^n)} $$

d'où $$ | \rho |= |r*e^{j*i*dx} + (1-2r) + r*e^{-j*i*dx}| $$

et on doit vérifier que $ |\rho|\le1 $ pour que le schéma soit stable.

on trouve :  $$ -1 \le 2*r*cos(i*dx)+1-2*r \le 1 $$

$$ -1 \le r*(cos(i*dx)-1) \le 0 $$

L'inégalité à droite est toujours vérifiée quelque soit r positif.

or pour l'inégalité à gauche, $$ -1 \le r*(cos(i*dx)-1) $$

ce qui est équivalent à écrire : $$ r(1-cos(i*dx)) \le 1 $$

on peut remarquer que $ max(1-cos(i*dx)) = 2 $

donc, il nous faut $$ r \le 1/2 $$