Application du solveur : Influence des paramètres du modèle

L'objectif de ce projet numérique était d'appréhender le code en C afin de pouvoir être autonome et modifier ses solveurs en fonction d'un problème physique donné. Une fois le solveur créé, il reste une part de validation du solveur. Pour cela nous avons imaginé comme cas test de notre solveur le mélange de deux fluides de masses volumiques différentes dans une cavité dont le couvercle est animé d'une vitesse V. Les effets de la gravité sont pris en compte dans notre solveur.

Le schéma de principe de la simulation est le suivant : 

                

Schéma de la situation testée avec le solveur crée 

La différence de masse volumique entre les deux fluides est liée à la concentration par le paramètre $ \beta $.

$ \rho = 1 + \beta C $

La masse volumique des fluides varient au cours du temps en fonction de la concentration.

Initialement, le fluide 1 a une masse volumique de 1, en effet la concentration (adimensionnée) dans la zone bleue est de 0, celle au niveau du carré rouge est 1. Le fluide 2 a donc une masse volumique de $ \rho_2 = 1 + \beta C = 1 + \beta $   

  1. Cas ou la gravité est prépondérante

Pour vérifier l'influence de la gravité, on pose une vitesse nulle pour le couvercle de la cavité. On pose $ \beta $ = 0.1. Le fluide injecté est donc un peu plus dense que le fluide 1. 

 

  1. Influence de la vitesse du couvercle

On considère désormais un problème où le mélange par gravité est accompagné par un mélange dû au mouvement du couvercle. 

On peut calculer le Reynolds : $$ Re = \frac {UL} { \nu}$$ L= 0.1 m $\nu$ = 10-3 m2.s-1

V 8*10-4 8*10-3 8*10-1
Re 0.08 0.8 80

Phénomène

prépondérant

         gravité         

vitesse / gravité

(création d'un tourbillon)

         vitesse          
Fr 3.7.10-3 0.037 3.7

 

On remarque que pour une vitesse très faible, la gravité est le phénomène prépondérant. Quand on augmente la vitesse, un tourbillon se crée qui induit un mélange efficace des fluides. Nous avons comparé les effets inertiels et gravitationnels en utilisant le nombre de Froude.

$$ Fr = \frac {V}{\sqrt {Lg*}} $$

g* est la gravité réduite elle tient compte des différences de masses volumiques.

$$ g* = g \frac{ \delta \rho }{\rho_1+\rho_2} $$

En effet, la flottabilité est une force en $ (\rho_2 - \rho_1) g L $ et les effets inertiels du couvercle peuvent être représentés avec une force en $ (\rho_1 + \rho_2)V²$ En faisant le rapport de ces termes on retrouve bien le nombre de Froude.

 

  1. Influence de la différence de masses volumiques initiale

Pour comparer les masses volumiques on introduit le nombre d'Atwood : 

$$ At = \frac {\rho_2 - \rho_1}{\rho_2+\rho_1} $$

Le nombre de Froude est alors égal à :

$$ Fr = \frac {V}{\sqrt {Lg*}} $$

Initialement, on a donc $$ At = \frac {\beta}{2 + \beta}$$

Quand At << 1, les deux fluides ont deux masses volumiques proches à t=0.

Quand At ~ 1 alors le fluide 2 est beaucoup plus dense que le fluide 1. 

 

$\beta$ 1000 0.1 10-5
At 1 0.05 5.10-6
g* (m²/s) 9.8 0.47 4.9.10-5
Fr 8.10-3 0.037 3.61

 

En faisant varier le $\beta$, on arrive à dissocier les effets de la gravité et les effets inertiels. Quand $\beta$ est très grand (ici 1000) on a alors une forte influence de la gravité, le fluide tombe et le mélange n'est pas très efficace. En revanche, quand $\beta$ est très faible, les deux fluides ayant quasiment la même masse volumique, les effets de gravité deviennent négligeables. Le mélange n'est piloté que par la vitesse, elle est donc très rapide.

 

  1. Influence du maillage

Plus on raffine, et plus la solution devient précise. Le temps de calcul devient alors long. Pour une vitesse considérée, on remarque que la convergence est d'autant plus lente que la maille est raffinée. Cependant, dans tous les cas, il est possible d'atteindre la convergence en maillage.