L'approche en volume finis

Volumes Finis

Volume finis est une méthode qui consiste  à diviser l’ensemble du domaine par les petits volumes qui seront considérés comme les éléments qui nous permettent de faire les calculs de la solution.Des résultats de convergence seront démontrés sur l'équation de transport pour le schéma linéaire upwind de base et pour les schémas non lineaires TVD.Pour ceci nous allons suivre les étapes suivantes:

  1. Création du maillage et définition des volumes à contrôler 
  2.  Schéma numérique  pour évaluer des flux
  3. Types approximation dans les volumes 

Chaque volume est composé d’un centre (i, j) et d’une cellule l’entourant de dimension (dx, dy).

                                                                                                                                                                                                        maillage (schéma centrée)
La concentration dans un volume (i, j) dépend de l’influence des volumes de ses quatres côtés.
Les conditions limites décrivent un ensemble de flux dans le Nord,le Sud,l'Est et l'Ouest.  A chaque cellule, la concentration (i, j) entre les instants n et n + 1 s'exprime par l'équation suivante:
Avec: Cni,j et Cn+1 ij, les  concentrations du volume aux instants n et n+1
           theta t, le pas de temps entre deux calcule successif 
           Vij, le volume de la cellule (i, j)
           Fij, le flux venant sur le volume (i, j ) par une de ces faces
 
Modélisation du phénomène d'advection 
 
On cherche à modéliser le phénomène d’advection. Cette modélisation sera faite
au travers de flux venant sur une cellule. Pour cela on adopte un schéma amont. Les
flux d’advection sur la cellule (i, j) sont alors décrits par les équations :
 
 
Modélisation du phénomène de diffusion 
 
De façon identique aux termes d’advection on traite le phénomène de diffusion par
les flux venants sur chaque cellule. On adopte ici un schéma centré pour définir les
flux diffusifs. Nous obtenons donc l’expression des flux diffusifs portés par l’abscisse
x et l’ordonnée y :
 
 
 
       
 

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